西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定根的性质
已知 $f(\lambda)$ 是首项系数为1的整系数多项式，且 $f(2+\sqrt{3})=0$，所以 $2+\sqrt{3}$ 是 $f(\lambda)$ 的一个根。由于整系数多项式的无理根总是成对出现（共轭根），因此 $2-\sqrt{3}$ 也是 $f(\lambda)$ 的根。
提示：注意：整系数多项式的无理根成对出现，前提是多项式系数为整数且根为二次无理数。
步骤 2/6
目标：构造最小多项式
由根 $2+\sqrt{3}$ 和 $2-\sqrt{3}$，可构造二次多项式：$(\lambda - (2+\sqrt{3}))(\lambda - (2-\sqrt{3})) = \lambda^2 - 4\lambda + 1$。该多项式是首项系数为1的整系数多项式，且是 $f(\lambda)$ 的一个因式。
公式：$(\lambda - (2+\sqrt{3}))(\lambda - (2-\sqrt{3})) = \lambda^2 - 4\lambda + 1$
提示：计算时注意符号：$2+\sqrt{3}$ 和 $2-\sqrt{3}$ 的和为4，积为1。
步骤 3/6
目标：表示f(λ)的因式分解形式
由于 $f(\lambda)$ 是首项系数为1的整系数多项式，且 $\lambda^2 - 4\lambda + 1$ 也是首项系数为1的整系数多项式，因此 $f(\lambda)$ 可表示为 $f(\lambda) = (\lambda^2 - 4\lambda + 1) g(\lambda)$，其中 $g(\lambda)$ 也是首项系数为1的整系数多项式。
公式：$f(\lambda) = (\lambda^2 - 4\lambda + 1) g(\lambda)$
提示：注意：$g(\lambda)$ 的系数为整数，且首项系数为1。
步骤 4/6
目标：计算f(5)的表达式
将 $\lambda = 5$ 代入 $f(\lambda)$ 的表达式：$f(5) = (5^2 - 4\cdot 5 + 1) g(5) = (25 - 20 + 1) g(5) = 6 g(5)$。由于 $g(5)$ 是整数，所以 $f(5)$ 是6的倍数。
公式：$f(5) = 6 g(5)$
提示：计算 $5^2 - 4\cdot 5 + 1$ 时注意运算顺序。
步骤 5/6
目标：确定具体数值
题目未给出 $f(\lambda)$ 的次数，但通常此类问题中，$f(\lambda)$ 取最小多项式，即 $f(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda + 1$，此时 $g(\lambda)=1$，$g(5)=1$，故 $f(5)=6$。若 $f(\lambda)$ 有更高次因式，则 $f(5)$ 是6的倍数，但题目要求具体数值，故取最小多项式得 $f(5)=6$。
提示：注意：若 $f(\lambda)$ 次数更高，$f(5)$ 可能为6的倍数但不一定是6，但常见题型中默认取最小多项式。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$f(5) = 6$。
提示：最终答案应填入 $\boxed{6}$。
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