西安电子科技大学 2026年高等代数第0题

已知 $V$ 是12维线性空间，$A,B$ 是线性变换且 $AB=BA$。定义零空间：$V_A=\{x\in V\mid Ax=0\}$，$V_B=\{x\in V\mid Bx=0\}$，$V_{A+B}=\{x\in V\mid (A+B)x=0\}$。已知 $\dim V_A=5$，$\dim V_B=4$，$\dim V_{A+B}=6$。需要研究 $V_{AB}=\{x\in V\mid ABx=0\}$ 的维数最小值，并证明秩不等式。

由于 $AB=BA$，对任意 $x\in V_A$，有 $ABx=BAx=B0=0$，故 $x\in V_{AB}$；对任意 $x\in V_B$，有 $ABx=A0=0$，故 $x\in V_{AB}$。因此 $V_A\subseteq V_{AB}$ 且 $V_B\subseteq V_{AB}$，从而 $V_A+V_B\subseteq V_{AB}$。

由维数公式：$\dim(V_A+V_B)=\dim V_A+\dim V_B-\dim(V_A\cap V_B)$。又 $V_A\cap V_B\subseteq V_{A+B}$，因为若 $x\in V_A\cap V_B$，则 $Ax=0,Bx=0$，故 $(A+B)x=0$，所以 $\dim(V_A\cap V_B)\leq \dim V_{A+B}=6$。代入得 $\dim(V_A+V_B)\geq 5+4-6=3$。

由 $V_A+V_B\subseteq V_{AB}$ 得 $\dim V_{AB}\geq \dim(V_A+V_B)\geq 3$。因此 $\dim V_{AB}$ 至少为3。可以构造例子（如适当定义 $A,B$ 使得 $V_{AB}=V_A+V_B$ 且 $\dim(V_A\cap V_B)=6$）使等号成立，故最小值为3。

由秩-零化度定理：$R(A)=12-\dim V_A$，$R(B)=12-\dim V_B$，$R(A+B)=12-\dim V_{A+B}$，$R(AB)=12-\dim V_{AB}$。要证 $R(AB)\leq R(A)+R(B)-R(A+B)$，等价于 $12-\dim V_{AB}\leq (12-\dim V_A)+(12-\dim V_B)-(12-\dim V_{A+B})$，化简得 $\dim V_{AB}\geq \dim V_A+\dim V_B-\dim V_{A+B}$。

由 $V_A+V_B\subseteq V_{AB}$ 得 $\dim V_{AB}\geq \dim(V_A+V_B)$。又 $\dim(V_A+V_B)=\dim V_A+\dim V_B-\dim(V_A\cap V_B)$，且 $V_A\cap V_B\subseteq V_{A+B}$，故 $\dim(V_A\cap V_B)\leq \dim V_{A+B}$。因此 $\dim(V_A+V_B)\geq \dim V_A+\dim V_B-\dim V_{A+B}$。从而 $\dim V_{AB}\geq \dim V_A+\dim V_B-\dim V_{A+B}$，即原不等式成立。