西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ．
（2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算向量内积
由内积定义，向量长度平方等于自身内积，故 $(u,u)=1^2=1$, $(v,v)=2^2=4$, $(w,w)=4^2=16$。两两夹角为 $\frac{\pi}{3}$，所以 $(u,v)=|u||v|\cos\frac{\pi}{3}=1\cdot2\cdot\frac12=1$，同理 $(u,w)=1\cdot4\cdot\frac12=2$，$(v,w)=2\cdot4\cdot\frac12=4$。
公式：$(\alpha,\beta)=|\alpha||\beta|\cos\theta$
提示：注意向量长度平方等于自身内积，夹角余弦值计算正确。
步骤 2/5
目标：写出格拉姆矩阵
格拉姆矩阵 $G$ 的元素为向量内积，因此
$$G=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 4 & 4\\2 & 4 & 16\end{pmatrix}.$$
公式：$G_{ij}=(\alpha_i,\alpha_j)$
提示：注意矩阵对称性，对角元为长度平方。
步骤 3/5
目标：将行列式转化为格拉姆矩阵形式
设 $A = I + u^T u + v^T v + w^T w$，其中 $u,v,w$ 视为行向量，则 $u^T u$ 等是 $3\times3$ 矩阵。令 $X = [u^T, v^T, w^T]$，则 $X$ 是 $3\times3$ 矩阵，其列是 $u^T, v^T, w^T$。那么 $M = u^T u + v^T v + w^T w = X X^T$，于是 $A = I + X X^T$。
公式：$X X^T = \sum_i x_i x_i^T$
提示：注意 $u$ 是行向量，$u^T$ 是列向量。
步骤 4/5
目标：应用矩阵行列式恒等式
由恒等式 $\det(I + X X^T) = \det(I + X^T X)$，其中 $X^T X$ 的元素为列向量的内积，即 $(X^T X)_{ij} = (x_i)^T x_j$，这里 $x_i$ 是 $X$ 的第 $i$ 列。由于 $X$ 的列是 $u^T, v^T, w^T$，所以 $X^T X$ 就是格拉姆矩阵 $G$。因此 $\det A = \det(I + G)$。
公式：$\det(I + X X^T) = \det(I + X^T X)$
提示：恒等式成立条件：$I$ 可逆，这里 $I$ 是单位矩阵。
步骤 5/5
目标：计算行列式
计算 $\det(I+G)$：
$$\det\begin{pmatrix}1+1 & 1 & 2\\1 & 1+4 & 4\\2 & 4 & 1+16\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\1 & 5 & 4\\2 & 4 & 17\end{pmatrix}.$$
按第一行展开：
\begin{align*}
\det &= 2\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 4\\4 & 17\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\2 & 17\end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix} \\
&= 2(5\cdot17 - 4\cdot4) - (1\cdot17 - 4\cdot2) + 2(1\cdot4 - 5\cdot2) \\
&= 2(85-16) - (17-8) + 2(4-10) \\
&= 2\cdot69 - 9 + 2\cdot(-6) = 138 - 9 - 12 = 117.
\end{align*}
公式：行列式展开公式
提示：计算二阶行列式时注意符号，展开时符号交替。
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