西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
13、令 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A V, B V$ 线性无关对任意非零 $V \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：
（1）$A B$ 可逆．
（2）$n$ 是偶数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明A和B可逆
由条件，对任意非零$V \in \mathbb{R}^n$，$AV$与$BV$线性无关，特别地$AV \neq 0$。若$A$不可逆，则存在非零$V$使得$AV=0$，矛盾。故$A$可逆。同理$B$可逆。
提示：注意线性无关蕴含非零，因此$AV \neq 0$对任意非零$V$成立。
步骤 2/5
目标：证明AB可逆
假设$AB$不可逆，则存在非零$X$使得$ABX=0$。令$V=BX$，由于$B$可逆，$V \neq 0$，且$AV = A(BX)=0$，与$AV$非零矛盾。故$AB$可逆。
提示：利用$B$可逆保证$V$非零。
步骤 3/5
目标：转化条件为$V$与$A^{-1}BV$线性无关
由于$A$可逆，$AV$与$BV$线性无关等价于$V$与$A^{-1}BV$线性无关（因为$A$是线性同构）。即对任意非零$V$，$V$与$A^{-1}BV$不共线。
提示：线性无关性在可逆线性变换下保持不变。
步骤 4/5
目标：推出$A^{-1}B$无实特征值
若$A^{-1}B$有实特征值$\lambda$，则存在非零$V$使得$A^{-1}BV = \lambda V$，此时$V$与$A^{-1}BV$共线，矛盾。故$A^{-1}B$无实特征值。
提示：特征向量定义：$A^{-1}BV = \lambda V$意味着$V$与$A^{-1}BV$共线。
步骤 5/5
目标：利用特征多项式性质证明$n$为偶数
$A^{-1}B$的特征多项式是$n$次实系数多项式，且无实根。实系数多项式的非实复根成对出现，因此根的个数为偶数，故$n$为偶数。
提示：注意实系数多项式虚根成对定理。
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