西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题与已知条件
已知 $V$ 是 $12$ 维线性空间，$U$ 和 $W$ 是子空间，且 $\dim U = 3$，$\dim W = 4$。需要求 $\dim(U^\perp \cap W^\perp)$ 的最小值。
提示：注意正交补的定义：$U^\perp = \{v \in V \mid \langle v, u \rangle = 0, \forall u \in U\}$。
步骤 2/7
目标：利用正交补的性质化简
由正交补的性质，有 $U^\perp \cap W^\perp = (U+W)^\perp$。因此，$\dim(U^\perp \cap W^\perp) = \dim((U+W)^\perp) = 12 - \dim(U+W)$。
公式：$(U+W)^\perp = U^\perp \cap W^\perp$
提示：注意 $(U+W)^\perp = U^\perp \cap W^\perp$ 成立，但 $(U \cap W)^\perp = U^\perp + W^\perp$。
步骤 3/7
目标：建立维数关系
为了最小化 $\dim(U^\perp \cap W^\perp)$，需要最大化 $\dim(U+W)$。由维数公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = 3 + 4 - \dim(U \cap W) = 7 - \dim(U \cap W)$。
公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$
提示：维数公式适用于任意两个子空间，注意 $U \cap W$ 也是子空间。
步骤 4/7
目标：确定 $\dim(U \cap W)$ 的最小值
$\dim(U \cap W)$ 的最小可能值为 $0$，即 $U$ 和 $W$ 的交集只含零向量。由于 $V$ 是 $12$ 维空间，$U$ 和 $W$ 的维数之和为 $7$，小于 $12$，因此可以选取 $U$ 和 $W$ 使得它们线性无关，即 $U \cap W = \{0\}$。
提示：注意 $\dim(U \cap W)$ 不能为负数，最小为 $0$。但需检查是否可行：$\dim U + \dim W = 7 \leq 12$，所以可以做到交为零。
步骤 5/7
目标：计算 $\dim(U+W)$ 的最大值
当 $\dim(U \cap W) = 0$ 时，$\dim(U+W) = 7 - 0 = 7$。这是 $\dim(U+W)$ 的最大可能值。
提示：注意 $\dim(U+W)$ 不能超过 $V$ 的维数 $12$，这里 $7 \leq 12$，合理。
步骤 6/7
目标：计算 $\dim(U^\perp \cap W^\perp)$ 的最小值
由 $\dim(U^\perp \cap W^\perp) = 12 - \dim(U+W)$，代入 $\dim(U+W)$ 的最大值 $7$，得最小值为 $12 - 7 = 5$。
公式：$\dim(U^\perp \cap W^\perp) = \dim V - \dim(U+W)$
提示：注意 $\dim(U^\perp \cap W^\perp)$ 的最小值对应 $\dim(U+W)$ 的最大值。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
因此，$\dim(U^\perp \cap W^\perp)$ 的最小值为 $5$。
提示：答案应填入空格：$\boxed{5}$。
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