西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12、若 $g(x)$ 的各次系数的最大公因数为 1 ，且 $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ，则称 $g(x)$ 是本原多项式。
（1）$h(x) \in \mathbb{Z}[x], d(x) \in \mathbb{Q}[x], g(x)$ 是本原多项式，若 $h(x)=d(x) g(x)$ ，证明：
$$
d(x) \in \mathbb{Z}[x]
$$
（2）$f(x) \in \mathbb{Z}[x], f^{2}(x)=1$ 有三个不同的整数根 $a, b, c$ ，证明：$f(x)$ 无整数根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设出有理系数多项式形式
设 $h(x)=d(x)g(x)$，其中 $h(x)\in\mathbb{Z}[x]$，$g(x)$ 是本原多项式，$d(x)\in\mathbb{Q}[x]$。由于 $d(x)\in\mathbb{Q}[x]$，可设 $d(x)=\frac{1}{c} d_1(x)$，其中 $c\in\mathbb{Z}_{>0}$，$d_1(x)\in\mathbb{Z}[x]$ 且系数互质（即本原）。
提示：注意 $d_1(x)$ 要取本原多项式，即系数最大公因数为1。
步骤 2/7
目标：转化为整系数等式
代入得 $h(x)=\frac{1}{c} d_1(x) g(x)$，两边乘以 $c$ 得 $c h(x)=d_1(x) g(x)$。左边 $c h(x)\in\mathbb{Z}[x]$，右边 $d_1(x)$ 和 $g(x)$ 都是本原多项式。
公式：$c h(x)=d_1(x) g(x)$
提示：注意 $c$ 是正整数，$h(x)$ 是整系数，所以左边仍是整系数。
步骤 3/7
目标：应用高斯引理
由高斯引理，两个本原多项式的乘积仍是本原多项式，因此 $d_1(x)g(x)$ 是本原多项式。于是 $c h(x)$ 也是本原多项式。
公式：高斯引理：本原多项式乘积仍为本原
提示：高斯引理的条件是多项式系数为整数且本原。
步骤 4/7
目标：推导出c=1
由于 $c h(x)$ 的系数有公因子 $c$，而本原多项式要求系数最大公因数为1，因此必须 $c=1$。
提示：注意 $c$ 是正整数，若 $c>1$ 则 $c h(x)$ 的系数有公因子 $c$，与本原矛盾。
步骤 5/7
目标：结论：d(x)为整系数多项式
由 $c=1$ 得 $d(x)=d_1(x)\in\mathbb{Z}[x]$。证毕。
步骤 6/7
目标：分析f(x)的根与因式分解
由 $f^2(x)=1$ 得 $f(x)=\pm 1$ 或 $f(x)$ 为非常数多项式。已知 $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ 且有三个不同的整数根 $a,b,c$，则 $f(x)$ 可分解为 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x)$，其中 $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$（因为 $f(x)$ 首项系数为1，由因式定理和整系数多项式性质，$q(x)$ 为整系数）。
公式：$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x)$
提示：注意 $f(x)$ 是整系数多项式，且首项系数为1，所以 $q(x)$ 也是整系数。
步骤 7/7
目标：反证法证明无整数根
假设 $f(x)$ 有整数根 $r$，则 $f(r)=0$。但由 $f^2(x)=1$ 得 $f^2(r)=1$，矛盾。因此 $f(x)$ 无整数根。
公式：$f^2(r)=1$ 与 $f(r)=0$ 矛盾
提示：注意 $f^2(x)=1$ 是恒等式，对任意 $x$ 成立，包括整数根。
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