西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
14、设 $A, B$ 是正定实对称矩阵．
（1）证明存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C A C=I, C^{T} B C$ 是对角元为正数的对角阵．
（2）证明 $\sqrt[n]{\operatorname{det}(A+B)} \geq \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)}+\sqrt[n]{\operatorname{det}(B)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A的正定性进行合同变换
由于A是正定实对称矩阵，存在可逆矩阵P使得$P^TAP=I$。令$Q=P^{-1}$，则$A=Q^TQ$。
公式：$P^TAP=I$
提示：注意正定矩阵的合同标准型是单位矩阵，但需要确保P是可逆的。
步骤 2/5
目标：对B进行合同对角化
考虑矩阵$Q^TBQ$，由于B对称，$Q^TBQ$也是对称矩阵。存在正交矩阵R使得$R^T(Q^TBQ)R=\Lambda$，其中$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，且因为B正定，$\lambda_i>0$。
公式：$R^T(Q^TBQ)R=\Lambda$
提示：正交矩阵R满足$R^TR=I$，且$\Lambda$的对角元为正数。
步骤 3/5
目标：构造可逆矩阵C并验证性质
令$C=QR$，则C可逆。计算$C^TAC=R^TQ^TAQR=R^TIR=I$，且$C^TBC=R^T(Q^TBQ)R=\Lambda$。因此C满足要求。
公式：$C^TAC=I$, $C^TBC=\Lambda$
提示：注意C的构造顺序：先对A合同变换，再对B正交对角化。
步骤 4/5
目标：将原不等式转化为关于Λ的不等式
由(1)知存在可逆C使得$C^TAC=I$, $C^TBC=\Lambda$。则$\det(A)=\det(C^{-T}C^{-1})=1/(\det C)^2$，$\det(B)=\det(C^{-T}\Lambda C^{-1})=\det\Lambda/(\det C)^2$，$\det(A+B)=\det(C^{-T}(I+\Lambda)C^{-1})=\det(I+\Lambda)/(\det C)^2$。代入原不等式两边乘以$(\det C)^{2/n}$得$\sqrt[n]{\det(I+\Lambda)}\ge 1+\sqrt[n]{\det\Lambda}$，即$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)}\ge 1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\lambda_i}$。
公式：$\det(A+B)=\det(I+\Lambda)/(\det C)^2$
提示：注意行列式的乘法性质：$\det(C^{-T}\Lambda C^{-1})=\det\Lambda/(\det C)^2$。
步骤 5/5
目标：应用AM-GM不等式证明
由AM-GM不等式，$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)}\ge \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1+\lambda_i)=1+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\lambda_i$。又由AM-GM，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\lambda_i\ge \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\lambda_i}$，因此$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)}\ge 1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\lambda_i}$。等号成立当且仅当所有$\lambda_i$相等。
公式：$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)}\ge 1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\lambda_i}$
提示：AM-GM不等式要求所有项非负，这里$\lambda_i>0$，$1+\lambda_i>0$，满足条件。
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