陕西师范大学 2022年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $\displaystyle A, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵，实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：$B$ 是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明B是对称矩阵
已知A和C是正定矩阵，因此对称。对方程$AX+XA=C$两边取转置，得$(AX+XA)^T=C^T$，即$X^TA^T+A^TX^T=C$。由于$A^T=A$，$C^T=C$，故$X^TA+AX^T=C$，所以$X^T$也是方程的解。由解的唯一性知$X^T=X$，即B对称。
公式：$(AX+XA)^T = X^T A^T + A^T X^T$
提示：注意转置运算中乘积顺序的反转，以及利用对称性简化。
步骤 2/5
目标：利用正交对角化简化方程
由于A正定，存在正交矩阵Q使得$Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中$\lambda_i>0$。令$\tilde{B}=Q^T B Q$，$\tilde{C}=Q^T C Q$，则方程$AB+BA=C$化为$\Lambda \tilde{B} + \tilde{B} \Lambda = \tilde{C}$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：正交对角化保持对称性，且$\tilde{C}$仍正定。
步骤 3/5
目标：推导B的矩阵元素表达式
将方程$\Lambda \tilde{B} + \tilde{B} \Lambda = \tilde{C}$写成分量形式：对任意$i,j$，有$(\lambda_i+\lambda_j)\tilde{b}_{ij} = \tilde{c}_{ij}$，因此$\tilde{b}_{ij} = \frac{\tilde{c}_{ij}}{\lambda_i+\lambda_j}$。
公式：$\tilde{b}_{ij} = \frac{\tilde{c}_{ij}}{\lambda_i+\lambda_j}$
提示：注意$\tilde{B}$不一定对称，但由B对称知$\tilde{B}$对称。
步骤 4/5
目标：证明$\tilde{B}$是正定矩阵
由于$\tilde{C}$正定，矩阵$M$满足$M_{ij}=\frac{1}{\lambda_i+\lambda_j}$是正定的（Cauchy矩阵，$\lambda_i>0$）。两个正定矩阵的Hadamard乘积$\tilde{B} = \tilde{C} \circ M$仍是正定矩阵（Schur乘积定理）。因此$\tilde{B}$正定。
公式：Schur乘积定理：若$P,Q$正定，则$P\circ Q$正定。
提示：需确认$M$的正定性：$M$是Gram矩阵，对应内积$\int_0^\infty e^{-\lambda_i t} e^{-\lambda_j t} dt$。
步骤 5/5
目标：由$\tilde{B}$正定推出B正定
对任意非零向量$x$，令$y=Q^T x$，则$x^T B x = x^T Q \tilde{B} Q^T x = y^T \tilde{B} y > 0$，且B已证对称，故B正定。
公式：$x^T B x = y^T \tilde{B} y$
提示：注意正交变换保持正定性，但此处$Q$正交，故$y$非零。
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