📝 陕西师范大学 2022年高等代数真题

1．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是一个整系数多项式，而 $\displaystyle \frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $\displaystyle r, s$ 互素，证明：$\displaystyle s\left|a_{n}, r\right| a_{0}$ ．

2．（20 分）计算 $n$ 阶行列式

$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
-a & x & a & \cdots & a \\
-a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-a & -a & -a & \cdots & x
\end{array}\right|
$$

3．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right), i=1,2, \cdots, s ; \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$

的解全是方程 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解的充分必要条件是 $\displaystyle \beta$ 可被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．

4．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ，其中 $\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵，实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：$B$ 是正定矩阵。

6．（20 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B, C, D$ 两两可交换，且满足 $\displaystyle A C+B D=I$ ，方程组

$$
A B X=0, A X=0, B X=0
$$

的解空问分别为 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

7．（20 分）已知 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空问 $V$ 的一些子空问，证明下列命题等价：
（1）$\displaystyle W=\sum_{i=1}^{s} V_{i}$ 是直和；
（2）零向量的分解式唯一；
（3）$\displaystyle V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j}=\{0\}(i=1,2, \cdots, s)$.

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换．
（1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换；
（2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．