陕西师范大学 2022年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）已知 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空问 $V$ 的一些子空问，证明下列命题等价：
（1）$\displaystyle W=\sum_{i=1}^{s} V_{i}$ 是直和；
（2）零向量的分解式唯一；
（3）$\displaystyle V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j}=\{0\}(i=1,2, \cdots, s)$.
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解直和的定义
直和的定义：设 $W = \sum_{i=1}^s V_i$，若 $W$ 中每个向量可唯一表示为 $v_1 + v_2 + \cdots + v_s$，其中 $v_i \in V_i$，则称 $W$ 是直和。
提示：注意直和与一般和的区别：直和要求分解唯一，而一般和只要求存在分解。
步骤 2/5
目标：证明 (1) ⇒ (2)：由直和推出零向量分解唯一
假设 $W = \sum_{i=1}^s V_i$ 是直和。由直和定义，$W$ 中每个向量有唯一分解。特别地，零向量 $0$ 的分解式唯一，即若 $0 = v_1 + v_2 + \cdots + v_s$，则 $v_i = 0$ 对每个 $i$。
提示：直和定义直接蕴含零向量分解唯一，无需额外推导。
步骤 3/5
目标：证明 (2) ⇒ (3)：由零向量分解唯一推出子空间交为零
假设零向量的分解式唯一。对任意 $i$，取 $x \in V_i \cap \sum_{j \neq i} V_j$，则 $x \in V_i$ 且 $x = \sum_{j \neq i} v_j$，其中 $v_j \in V_j$。于是 $0 = x - \sum_{j \neq i} v_j = v_1 + \cdots + v_{i-1} + (-x) + v_{i+1} + \cdots + v_s$，其中 $-x \in V_i$。由零向量分解唯一性，得 $-x = 0$，即 $x = 0$。故 $V_i \cap \sum_{j \neq i} V_j = \{0\}$。
提示：注意构造零向量的分解时，将 $x$ 视为 $V_i$ 中的向量，$\sum_{j \neq i} v_j$ 视为其他子空间的和。
步骤 4/5
目标：证明 (3) ⇒ (1)：由子空间交为零推出直和
设 $W = \sum_{i=1}^s V_i$，且对每个 $i$，$V_i \cap \sum_{j \neq i} V_j = \{0\}$。要证 $W$ 是直和，即证 $W$ 中每个向量的分解式唯一。设 $0 = v_1 + v_2 + \cdots + v_s$，其中 $v_i \in V_i$。则对任意 $i$，有 $v_i = -\sum_{j \neq i} v_j \in V_i \cap \sum_{j \neq i} V_j = \{0\}$，故 $v_i = 0$。因此零向量分解唯一，从而 $W$ 是直和。
提示：证明直和通常只需证明零向量分解唯一，因为线性性可推广到一般向量。
步骤 5/5
目标：总结等价性
由以上三步，我们证明了 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)，因此三个命题等价。
提示：注意循环证明的完整性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。