陕西师范大学 2022年高等代数第8题
📝 题目
8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换．
（1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换；
（2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解同时对角化的含义
若σ与τ可同时对角化，则存在V的一组标准正交基，使得σ和τ在该基下的矩阵都是对角矩阵。设σ的矩阵为$\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，τ的矩阵为$\operatorname{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)$。
提示：注意同时对角化要求同一组基下两个矩阵都是对角矩阵，且基是标准正交基。
步骤 2/7
目标：计算乘积并证明交换性
计算στ和τσ在该基下的矩阵：$\sigma\tau$的矩阵为$\operatorname{diag}(\lambda_1\mu_1,\dots,\lambda_n\mu_n)$，$\tau\sigma$的矩阵也为$\operatorname{diag}(\lambda_1\mu_1,\dots,\lambda_n\mu_n)$，因此$\sigma\tau=\tau\sigma$。
公式：$\sigma\tau$和$\tau\sigma$的矩阵都是$\operatorname{diag}(\lambda_1\mu_1,\dots,\lambda_n\mu_n)$
提示：对角矩阵乘法可交换，但需注意顺序：$\operatorname{diag}(a_i)\operatorname{diag}(b_i)=\operatorname{diag}(a_i b_i)$。
步骤 3/7
目标：利用对称变换对角化
由于σ是对称变换，存在一组标准正交基使得σ的矩阵为对角矩阵。设σ在该基下的矩阵为$\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中$\lambda_i$是σ的特征值。
提示：实对称矩阵可正交对角化，即存在标准正交基使矩阵为对角矩阵。
步骤 4/7
目标：分解特征子空间
将特征值相同的基向量合并，得到σ的特征子空间分解$V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k$，其中每个$V_i$是σ的属于特征值$\lambda_i$的特征子空间。
公式：$V_i=\{v\in V\mid \sigma(v)=\lambda_i v\}$
提示：注意不同特征值对应的特征子空间是正交的，但这里不需要正交性。
步骤 5/7
目标：证明τ保持特征子空间
由于σ与τ可交换，对于任意$v\in V_i$，有$\sigma(\tau(v))=\tau(\sigma(v))=\lambda_i\tau(v)$，因此$\tau(v)\in V_i$，即τ保持每个特征子空间$V_i$不变。
公式：$\sigma\tau=\tau\sigma$
提示：交换性保证了τ将特征向量映射为同一特征值的特征向量。
步骤 6/7
目标：在特征子空间上应用对称变换性质
τ限制在$V_i$上是$V_i$上的对称变换（因为τ是对称的，且$V_i$是τ-不变子空间），从而τ在$V_i$上有特征向量（实对称矩阵可对角化）。该特征向量也是σ的特征向量（因为属于$V_i$）。
提示：对称变换在不变子空间上的限制仍是对称变换，但需验证内积的保持性。
步骤 7/7
目标：总结公共特征向量的存在性
因此，σ与τ至少有一个公共的特征向量。
提示：注意每个特征子空间非零，所以至少存在一个特征向量。
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