陕西师范大学 2022年高等代数第4题
📝 题目
4．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ，其中 $\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入符号并明确目标
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，$B=(b_{ij})_{n\times n}$，$C=AB=(c_{ij})_{n\times n}$，其中 $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。伴随矩阵 $A^*=(A_{ji})$，其中 $A_{ji}$ 是 $a_{ji}$ 的代数余子式。类似地，$B^*=(B_{ji})$，$C^*=(C_{ji})$。需要证明 $(AB)^*=B^*A^*$，即 $C_{ji}=\sum_{k=1}^n B_{jk}A_{ki}$ 对任意 $i,j$ 成立。
公式：c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素的代数余子式。
步骤 2/6
目标：考虑可逆情形简化证明
若 $A$ 和 $B$ 可逆，则 $A^*=\det(A)A^{-1}$，$B^*=\det(B)B^{-1}$。于是 $(AB)^*=\det(AB)(AB)^{-1}=\det(A)\det(B)B^{-1}A^{-1}=B^*A^*$。因此当 $A,B$ 可逆时结论成立。
公式：A^*=\det(A)A^{-1}
提示：该性质仅对可逆矩阵成立，不可逆时需另寻方法。
步骤 3/6
目标：处理不可逆情形：引入参数
考虑多项式 $f(t)=\det(A+tI)$ 和 $g(t)=\det(B+tI)$，其中 $t$ 是实数或复数参数。由于 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 $t$ 的多项式，它们只有有限个零点。因此存在无穷多个 $t$ 使得 $A+tI$ 和 $B+tI$ 可逆。
公式：f(t)=\det(A+tI)
提示：注意 $A+tI$ 和 $B+tI$ 可逆当且仅当 $t$ 不是 $-A$ 或 $-B$ 的特征值。
步骤 4/6
目标：对可逆参数矩阵应用结论
对于使 $A+tI$ 和 $B+tI$ 可逆的 $t$，由可逆情形有 $((A+tI)(B+tI))^* = (B+tI)^* (A+tI)^*$。
公式：((A+tI)(B+tI))^* = (B+tI)^* (A+tI)^*
提示：注意这里 $t$ 是参数，等式两边都是 $t$ 的矩阵多项式。
步骤 5/6
目标：利用多项式恒等性
等式两边每个元素都是 $t$ 的多项式（因为伴随矩阵的元素是原矩阵元素的代数余子式，是多项式）。由于等式对无穷多个 $t$ 成立，故作为多项式恒等。令 $t=0$ 即得 $(AB)^* = B^* A^*$。
提示：多项式恒等定理：若两个多项式在无穷多个点上相等，则它们恒等。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，对于任意 $n\times n$ 矩阵 $A,B$（$n\ge 2$），都有 $(AB)^* = B^* A^*$。
公式：(AB)^* = B^* A^*
提示：该结论对 $n=1$ 也成立，但题目限定 $n\ge 2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。