陕西师范大学 2022年高等代数第3题
📝 题目
3．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right), i=1,2, \cdots, s ; \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
的解全是方程 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解的充分必要条件是 $\displaystyle \beta$ 可被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与符号设定
设方程组为 $AX=0$，其中 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，行向量为 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$；$\beta$ 是 $1\times n$ 行向量。需要证明：$AX=0$ 的解全是 $\beta X=0$ 的解的充要条件是 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出。
提示：注意区分行向量与列向量，这里 $\alpha_i$ 和 $\beta$ 均为行向量。
步骤 2/5
目标：必要性证明：引入正交补概念
设 $W = \{X \in \mathbb{R}^n \mid AX=0\}$ 为 $AX=0$ 的解空间，$U = \{X \in \mathbb{R}^n \mid \beta X=0\}$ 为 $\beta X=0$ 的解空间。由条件知 $W \subseteq U$。考虑正交补：$W^\perp = \{ \alpha \in \mathbb{R}^n \mid \alpha X=0, \forall X \in W \}$。由于 $W \subseteq U$，有 $U^\perp \subseteq W^\perp$。而 $U^\perp$ 是由 $\beta$ 张成的子空间，$W^\perp$ 是由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 张成的行空间（即 $A$ 的行空间）。因此 $\beta \in W^\perp$，即 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出。
公式：$W^\perp = \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}$
提示：正交补的概念：子空间 $V$ 的正交补 $V^\perp$ 是所有与 $V$ 中每个向量正交的向量构成的集合。这里 $W^\perp$ 是 $A$ 的行空间。
步骤 3/5
目标：必要性证明：利用线性方程组理论
另一种方法：考虑线性方程组 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 的系数矩阵的转置，即 $A^T$。由于 $AX=0$ 的解空间包含于 $\beta X=0$ 的解空间，故 $\beta$ 属于 $AX=0$ 的解空间的正交补，而 $AX=0$ 的解空间的正交补等于 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 张成的行空间。因此 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出。
公式：$\operatorname{row}(A) = \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}$
提示：注意：行空间是 $A$ 的行向量张成的空间，与解空间正交。
步骤 4/5
目标：充分性证明：线性表出推导解的关系
若 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出，即存在 $k_1,\dots,k_s$ 使得 $\beta = k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$。则对任意满足 $AX=0$ 的 $X$，有 $\alpha_i X=0$（$i=1,\dots,s$）。从而 $\beta X = (k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s)X = k_1(\alpha_1 X)+\cdots+k_s(\alpha_s X)=0$，故 $X$ 满足 $\beta X=0$。
公式：$\beta = \sum_{i=1}^s k_i \alpha_i$
提示：线性表出是向量组之间的线性关系，注意系数 $k_i$ 是标量。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，必要性：若 $AX=0$ 的解全是 $\beta X=0$ 的解，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出；充分性：若 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表出，则 $AX=0$ 的解全是 $\beta X=0$ 的解。因此，命题得证。
提示：充要条件证明需分两步，缺一不可。
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