陕西师范大学 2022年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B, C, D$ 两两可交换，且满足 $\displaystyle A C+B D=I$ ，方程组
$$
A B X=0, A X=0, B X=0
$$
的解空问分别为 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
已知 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵，两两可交换，且满足 $AC + BD = I$。设 $W = \{x \mid ABx = 0\}$，$W_1 = \{x \mid Ax = 0\}$，$W_2 = \{x \mid Bx = 0\}$。需要证明 $W = W_1 \oplus W_2$，即 $W = W_1 + W_2$ 且 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：AC + BD = I
提示：注意两两可交换的条件，后续推导中会多次用到交换性。
步骤 2/7
目标：证明 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$
取 $x \in W_1 \cap W_2$，则 $Ax = 0$ 且 $Bx = 0$。计算 $(AC + BD)x = ACx + BDx = A(Cx) + B(Dx) = 0 + 0 = 0$。但 $AC + BD = I$，故 $x = Ix = 0$，因此 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：(AC+BD)x = x
提示：注意 $Cx$ 和 $Dx$ 不一定为零，但 $A(Cx)=0$ 是因为 $Ax=0$ 且 $A$ 与 $C$ 可交换？实际上这里直接由 $Ax=0$ 得 $A(Cx)=C(Ax)=0$，类似地 $B(Dx)=D(Bx)=0$。
步骤 3/7
目标：证明 $W_1 + W_2 \subseteq W$
若 $x \in W_1$，则 $Ax = 0$，于是 $ABx = BAx = B0 = 0$，故 $x \in W$。同理，若 $x \in W_2$，则 $Bx = 0$，$ABx = A0 = 0$，故 $x \in W$。因此 $W_1 \subseteq W$，$W_2 \subseteq W$，从而 $W_1 + W_2 \subseteq W$。
公式：AB = BA
提示：注意 $A$ 与 $B$ 可交换，所以 $ABx = BAx$。
步骤 4/7
目标：证明 $W \subseteq W_1 + W_2$：构造分解
任取 $x \in W$，则 $ABx = 0$。令 $x_1 = BDx$，$x_2 = ACx$。由 $AC + BD = I$ 得 $x = (AC + BD)x = ACx + BDx = x_2 + x_1$，即 $x = x_1 + x_2$。
公式：x = (AC+BD)x = ACx + BDx
提示：注意 $x_1$ 和 $x_2$ 的定义，这是关键构造。
步骤 5/7
目标：证明 $x_1 \in W_1$
计算 $A x_1 = A(BDx) = B(ADx)$（因为 $A$ 与 $B$ 可交换）。又 $A$ 与 $D$ 可交换，故 $AD = DA$，所以 $A x_1 = B(DAx) = D(BAx)$。由 $ABx = 0$ 及交换性得 $BAx = 0$，因此 $A x_1 = D \cdot 0 = 0$，即 $x_1 \in W_1$。
公式：A(BDx) = B(ADx) = D(BAx)
提示：注意交换顺序：$A$ 与 $B$ 交换，$A$ 与 $D$ 交换，但 $B$ 与 $D$ 不一定直接用到。
步骤 6/7
目标：证明 $x_2 \in W_2$
计算 $B x_2 = B(ACx) = A(BCx)$（因为 $B$ 与 $A$ 可交换）。又 $B$ 与 $C$ 可交换，故 $BC = CB$，所以 $B x_2 = A(CBx) = C(ABx)$。由 $ABx = 0$ 得 $B x_2 = C \cdot 0 = 0$，即 $x_2 \in W_2$。
公式：B(ACx) = A(BCx) = C(ABx)
提示：类似上一步，注意交换性。
步骤 7/7
目标：总结结论
由 $x = x_1 + x_2$ 且 $x_1 \in W_1$，$x_2 \in W_2$，得 $x \in W_1 + W_2$，故 $W \subseteq W_1 + W_2$。结合 $W_1 + W_2 \subseteq W$ 得 $W = W_1 + W_2$，又 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$，因此 $W = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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