陕西师范大学 2023年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设 $\displaystyle f_{k}(x)(k=1,2, \cdots, n)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：
$$
\left(x^{n}+\cdots+x+1\right) \mid\left[x^{n-1} f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x^{n-2} f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x f_{n-1}\left(x^{n+1}\right)+f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right]
$$
的充要条件是 $\displaystyle (x-1) \mid f_{k}(x), k=1,2, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入符号和多项式
设 $g(x) = x^{n-1} f_1(x^{n+1}) + x^{n-2} f_2(x^{n+1}) + \cdots + x f_{n-1}(x^{n+1}) + f_n(x^{n+1})$，$\Phi_n(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1$。
提示：注意 $\Phi_n(x)$ 是 $n+1$ 次单位根中除 $1$ 外的所有根的乘积，即 $\Phi_n(x) = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$。
步骤 2/7
目标：必要性：利用根的条件
若 $\Phi_n(x) \mid g(x)$，则 $\Phi_n(x)$ 的根都是 $g(x)$ 的根。$\Phi_n(x)$ 的根为 $\omega^k$，$k=1,2,\ldots,n$，其中 $\omega = e^{2\pi i/(n+1)}$，满足 $\omega^{n+1}=1$ 且 $\omega \neq 1$。对任意 $k$，有 $g(\omega^k)=0$。
公式：$\Phi_n(\omega^k)=0$
提示：注意 $\omega^{n+1}=1$，所以 $\omega^{k(n+1)}=1$。
步骤 3/7
目标：必要性：计算 $g(\omega^k)$
计算 $g(\omega^k) = \sum_{j=1}^{n} \omega^{k(n-j)} f_j(\omega^{k(n+1)}) = \sum_{j=1}^{n} \omega^{k(n-j)} f_j(1)$，因为 $\omega^{k(n+1)}=1$。于是 $g(\omega^k) = \omega^{kn} \sum_{j=1}^{n} \omega^{-kj} f_j(1) = 0$。由于 $\omega^{kn} \neq 0$，故 $\sum_{j=1}^{n} \omega^{-kj} f_j(1) = 0$。
公式：$g(\omega^k) = \omega^{kn} \sum_{j=1}^{n} (\omega^{-k})^j f_j(1)$
提示：注意指数运算：$\omega^{k(n-j)} = \omega^{kn} \cdot \omega^{-kj}$。
步骤 4/7
目标：必要性：构造多项式并利用根的条件
令 $t = \omega^{-k}$，则 $t$ 取遍所有 $n$ 次单位根（$k=1,\ldots,n$），即 $t^n=1$ 且 $t \neq 1$。于是对每个 $n$ 次本原单位根 $t$，有 $\sum_{j=1}^{n} f_j(1) t^j = 0$。考虑多项式 $h(x) = \sum_{j=1}^{n} f_j(1) x^j$，则 $h(t)=0$ 对所有 $n$ 次单位根 $t \neq 1$ 成立。
公式：$h(x) = \sum_{j=1}^{n} f_j(1) x^j$
提示：注意 $t$ 是 $n$ 次单位根，但 $t \neq 1$，所以 $\Phi_n(t)=0$。
步骤 5/7
目标：必要性：推出 $f_j(1)=0$
由于 $\Phi_n(x)$ 以所有 $n$ 次单位根（除 $1$ 外）为根，且 $\deg h \leq n$，所以 $\Phi_n(x) \mid h(x)$。但 $\deg \Phi_n = n$，故存在常数 $c$ 使得 $h(x) = c \Phi_n(x)$。比较 $x^n$ 系数得 $f_n(1)=c$，比较常数项得 $0 = c \cdot 1$，所以 $c=0$，从而 $f_j(1)=0$ 对所有 $j=1,\ldots,n$ 成立，即 $(x-1) \mid f_j(x)$。
公式：$h(x) = c \Phi_n(x)$
提示：注意 $\Phi_n(x)$ 的常数项为 $1$，而 $h(x)$ 常数项为 $0$，因此 $c=0$。
步骤 6/7
目标：充分性：利用因式分解
若 $(x-1) \mid f_k(x)$ 对所有 $k$ 成立，则 $f_k(1)=0$。设 $f_k(x) = (x-1) q_k(x)$，则 $f_k(x^{n+1}) = (x^{n+1}-1) q_k(x^{n+1})$。于是 $g(x) = \sum_{j=1}^{n} x^{n-j} (x^{n+1}-1) q_j(x^{n+1}) = (x^{n+1}-1) \sum_{j=1}^{n} x^{n-j} q_j(x^{n+1})$。
公式：$x^{n+1}-1 = (x-1)\Phi_n(x)$
提示：注意 $x^{n+1}-1$ 可分解为 $(x-1)\Phi_n(x)$。
步骤 7/7
目标：充分性：得出整除结论
由于 $x^{n+1}-1 = (x-1)\Phi_n(x)$，所以 $g(x) = (x-1)\Phi_n(x) \sum_{j=1}^{n} x^{n-j} q_j(x^{n+1})$，因此 $\Phi_n(x) \mid g(x)$。
公式：$g(x) = (x-1)\Phi_n(x) \cdot H(x)$
提示：注意 $\Phi_n(x)$ 与 $x-1$ 互质，但这里直接分解出 $\Phi_n(x)$ 即可。
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