陕西师范大学 2023年高等代数第9题
📝 题目
9．（10 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数并选取基
设 $\dim V_1 = r$, $\dim V_2 = s$, 且 $r < s$. 取 $V_1$ 的一组标准正交基 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$, 将其扩充为 $V$ 的一组标准正交基 $\alpha_1,\dots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\dots,\alpha_n$.
提示：注意标准正交基的存在性（Gram-Schmidt正交化），且维数条件 $r < s$ 是核心前提。
步骤 2/5
目标：表示向量并写出正交条件
则 $V_2$ 中任一向量 $\beta$ 可表示为 $\beta = \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i$. $\beta$ 正交于 $V_1$ 中一切向量当且仅当 $\beta$ 与每个 $\alpha_j$ ($j=1,\dots,r$) 正交, 即 $\langle \beta, \alpha_j \rangle = x_j = 0$ 对 $j=1,\dots,r$. 因此, 满足条件的 $\beta$ 形如 $\beta = \sum_{i=r+1}^n x_i \alpha_i$.
公式：$\langle \beta, \alpha_j \rangle = x_j$
提示：注意标准正交基下内积即为坐标分量，正交条件等价于前r个分量为0。
步骤 3/5
目标：构造线性映射
考虑线性映射 $\varphi: V_2 \to \mathbb{R}^r$, $\varphi(\beta) = (\langle\beta,\alpha_1\rangle,\dots,\langle\beta,\alpha_r\rangle)$. 这是一个线性映射, 其像的维数不超过 $r$.
公式：$\varphi(\beta) = (x_1,\dots,x_r)$
提示：映射的线性性由内积的线性性保证，像空间是 $\mathbb{R}^r$ 的子空间。
步骤 4/5
目标：应用维数公式
由维数公式: $\dim V_2 = \dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi$. 由于 $\dim \operatorname{Im} \varphi \leq r$, 且 $\dim V_2 = s > r$, 故 $\dim \ker \varphi = s - \dim \operatorname{Im} \varphi \geq s - r > 0$.
公式：$\dim V_2 = \dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi$
提示：注意 $\dim \operatorname{Im} \varphi \leq r$ 是因为像空间是 $\mathbb{R}^r$ 的子空间，且 $r < s$ 保证核非零。
步骤 5/5
目标：得出存在非零向量
因此 $\ker \varphi$ 的维数大于0, 即存在非零向量 $\beta \in V_2$ 使得 $\varphi(\beta)=0$, 即 $\langle\beta,\alpha_j\rangle=0$ 对所有 $j=1,\dots,r$. 由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 是 $V_1$ 的一组基, 故 $\beta$ 正交于 $V_1$ 中一切向量.
提示：注意基的正交性可推出对整个子空间的正交性，因为任意向量可表示为基的线性组合。
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