陕西师范大学 2023年高等代数第8题

矩阵 $A$ 是6阶矩阵，其非零元素集中在主对角线、次对角线和 $(2,3)$、$(4,5)$ 位置。实际上，$A$ 可以看作由三个2阶子块 $B = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ 构成，但右上角有1，因此是块上三角形式：$A = \begin{pmatrix} B & C & 0 \\ 0 & B & C \\ 0 & 0 & B \end{pmatrix}$，其中 $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。

计算 $\lambda E - A$： $$\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda - a & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -b & \lambda - a & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda - a & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -b & \lambda - a & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda - a & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -b & \lambda - a \end{pmatrix}.$$

由于矩阵是块上三角，特征多项式等于对角块特征多项式的乘积。每个2阶子块 $\lambda E - B = \begin{pmatrix} \lambda - a & b \\ -b & \lambda - a \end{pmatrix}$ 的行列式为 $(\lambda - a)^2 + b^2$。因此特征多项式为 $\det(\lambda E - A) = [(\lambda - a)^2 + b^2]^3$。特征值为 $a \pm i b$，各为3重。

由于 $b \neq 0$，矩阵 $\lambda E - A$ 的秩为6。通过初等变换（例如，利用 $(1,1)$ 位置消去其他行和列）可得到史密斯标准形。不变因子为：$d_1 = d_2 = d_3 = d_4 = 1$，$d_5 = (\lambda - a)^2 + b^2$，$d_6 = [(\lambda - a)^2 + b^2]^2$。验证：$d_1 \cdots d_6 = [(\lambda - a)^2 + b^2]^3$，与特征多项式一致。

在复数域上分解 $d_5$ 和 $d_6$：$(\lambda - a)^2 + b^2 = (\lambda - a - i b)(\lambda - a + i b)$。因此 $d_5$ 分解为两个一次因式，$d_6$ 分解为两个二次因式。但初等因子是每个一次因式的幂次，所以初等因子为 $(\lambda - a - i b)^3$ 和 $(\lambda - a + i b)^3$。

每个特征值 $a \pm i b$ 的代数重数为3，几何重数为1（因为 $\lambda E - A$ 在特征值处的秩为4，零度=2，但每个特征值对应的若尔当块只有一个，所以几何重数为1）。因此每个特征值对应一个3阶若尔当块。若尔当标准形为： $$J = \begin{pmatrix} a+ib & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a+ib & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a+ib & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-ib & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-ib & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a-ib \end{pmatrix}.$$