陕西师范大学 2023年高等代数第7题
📝 题目
7．（20分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级实矩阵，并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B A$ 的非零特征值，以 $\displaystyle V_{\lambda}^{B A}$ 表示 $\displaystyle B A$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间．证明：
（1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值；
（2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明λ也是AB的特征值
设λ≠0是BA的特征值，则存在非零向量x∈ℝⁿ使得BAx=λx。两边左乘A得A(BAx)=A(λx)，即(AB)(Ax)=λ(Ax)。由于λ≠0，若Ax=0，则BAx=B0=0，与λx≠0矛盾，故Ax≠0。因此Ax是AB的属于特征值λ的特征向量，从而λ也是AB的特征值。
公式：BAx=λx ⇒ (AB)(Ax)=λ(Ax)
提示：注意λ≠0的条件用于保证Ax≠0，否则无法得到特征向量。
步骤 2/5
目标：定义线性映射φ
定义线性映射φ: V_λ^{BA} → V_λ^{AB}为φ(x)=Ax。由(1)知φ的像在V_λ^{AB}中。
公式：φ(x)=Ax
提示：需要验证φ的像确实落在V_λ^{AB}中，即A(V_λ^{BA})⊆V_λ^{AB}。
步骤 3/5
目标：证明φ是单射
若φ(x)=0，则Ax=0。代入BAx=λx得0=λx，由λ≠0得x=0。故φ是单射。
公式：Ax=0 ⇒ λx=0 ⇒ x=0
提示：单射的证明依赖于λ≠0。
步骤 4/5
目标：证明φ是满射
对任意y∈V_λ^{AB}，有ABy=λy。令x=(1/λ)By，则x∈ℝⁿ，且BAx=BA((1/λ)By)=(1/λ)B(ABy)=(1/λ)B(λy)=By=λx，故x∈V_λ^{BA}。又φ(x)=Ax=A((1/λ)By)=(1/λ)(AB)y=(1/λ)λy=y，因此φ是满射。
公式：x=(1/λ)By ⇒ BAx=λx, φ(x)=y
提示：构造x时需确保λ≠0，且验证x确实属于V_λ^{BA}。
步骤 5/5
目标：结论：维数相等
φ是线性同构，故dim(V_λ^{AB})=dim(V_λ^{BA})。
提示：同构的线性空间维数相等。
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