陕西师范大学 2023年高等代数第6题
📝 题目
6．（25 分）已知
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,2,1,-2), \alpha_{2}=(2,3,1,0), \alpha_{3}=(1,2,2,-3) \\
& \beta_{1}=(1,1,1,1), \beta_{2}=(1,0,1,-1), \beta_{3}=(1,3,0,-4)
\end{aligned}
$$
（1）求 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的基与维数；
（2）求 $\displaystyle W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的基与维数；
（3）求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 及 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的基与维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求W1的基与维数
将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 按列排成矩阵 $A$，并化为行最简形：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
主元列对应第1、2列，故 $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $W_1$ 的一组基，维数为2。
提示：注意矩阵是按列排的，行最简形的主元列对应原向量组的极大无关组。
步骤 2/6
目标：求W2的基与维数
将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 按列排成矩阵 $B$，并化为行最简形：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
主元列对应所有三列，故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关，是 $W_2$ 的一组基，维数为3。
提示：行最简形中主元列的数量就是向量组的秩，也是维数。
步骤 3/6
目标：求W1+W2的基与维数
将 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3$ 按列排成矩阵 $C$，并化为行最简形：
$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -3 & 1 & -1 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$
主元列对应第1、2、4、5列，故 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 是 $W_1+W_2$ 的一组基，维数为4。
提示：注意行最简形中主元列对应的原向量就是和空间的基，不要选错列。
步骤 4/6
目标：求W1∩W2的基与维数（建立方程组）
设 $\xi \in W_1 \cap W_2$，则存在数 $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ 使得
$$x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2 + y_3 \beta_3.$$
移项得 $x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 - y_1 \beta_1 - y_2 \beta_2 - y_3 \beta_3 = 0$。该齐次线性方程组的系数矩阵即为 $C$。
提示：注意移项后系数矩阵是C，未知数顺序为x1,x2,x3,y1,y2,y3。
步骤 5/6
目标：解齐次线性方程组求基础解系
对矩阵 $C$ 的行最简形，写出对应的齐次方程组：
$$\begin{cases} x_1 + x_3 + y_3 = 0 \\ x_2 + y_3 = 0 \\ y_1 + y_3 = 0 \\ y_2 - y_3 = 0 \end{cases}$$
取自由变量 $x_3, y_3$，得基础解系：
$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
提示：自由变量的选取要正确，这里x3和y3是自由变量。
步骤 6/6
目标：由基础解系得到W1∩W2的基
取 $k_1=1, k_2=0$ 得 $\xi = -\alpha_1 + \alpha_3 = (0,0,1,-1)$；取 $k_1=0, k_2=1$ 得 $\xi = -\alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = (0,0,0,0)$（零向量）。故 $W_1 \cap W_2$ 的基为 $(0,0,1,-1)$，维数为1。
提示：注意非零解才构成基，零向量不能作为基向量。
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