陕西师范大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）求使实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+a_{i} x_{i+1}\right)^{2}$（约定 $\displaystyle x_{n+1}=x_{1}$ ）正定的充分必要条件．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：展开二次型并整理
将二次型展开：
\[ f = \sum_{i=1}^n (x_i + a_i x_{i+1})^2 = \sum_{i=1}^n (x_i^2 + 2a_i x_i x_{i+1} + a_i^2 x_{i+1}^2). \]
注意下标循环，即 $x_{n+1}=x_1$。整理得：
\[ f = \sum_{i=1}^n (1 + a_{i-1}^2) x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n a_i x_i x_{i+1}, \]
其中 $a_0 = a_n$。
公式：\sum_{i=1}^n (x_i + a_i x_{i+1})^2 = \sum_{i=1}^n (1 + a_{i-1}^2) x_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n a_i x_i x_{i+1}
提示：注意下标循环，$a_0$ 应替换为 $a_n$。
步骤 2/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f$ 的矩阵 $A$ 是对称三对角矩阵：
\[ A = \begin{pmatrix}
1+a_n^2 & a_1 & 0 & \cdots & 0 & a_n \\
a_1 & 1+a_1^2 & a_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a_2 & 1+a_2^2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1+a_{n-2}^2 & a_{n-1} \\
a_n & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & 1+a_{n-1}^2
\end{pmatrix}. \]
提示：注意矩阵的对称性，以及 $(1, n)$ 和 $(n, 1)$ 位置为 $a_n$。
步骤 3/6
目标：利用平方和形式分析正定性
由于 $f = \sum_{i=1}^n (x_i + a_i x_{i+1})^2 \ge 0$，$f$ 半正定。$f$ 正定当且仅当 $f=0$ 只有零解，即方程组
\[ x_i + a_i x_{i+1} = 0, \quad i=1,\dots,n \]
（其中 $x_{n+1}=x_1$）只有零解。
公式：f = \sum_{i=1}^n (x_i + a_i x_{i+1})^2 \ge 0
提示：平方和形式直接给出半正定性，正定性等价于方程组只有零解。
步骤 4/6
目标：写出方程组的系数矩阵
方程组 $x_i + a_i x_{i+1}=0$ 的系数矩阵为：
\[ B = \begin{pmatrix}
1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\
a_n & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}. \]
方程组有非零解当且仅当 $\det B = 0$。
提示：注意最后一行第一列为 $a_n$，最后一列为 $1$。
步骤 5/6
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $\det B$。按第一行展开或利用循环矩阵性质，可得：
\[ \det B = 1 + (-1)^{n+1} \prod_{i=1}^n a_i. \]
具体推导：将行列式按第一行展开，得到 $1 \cdot \det(\text{子式}) + (-1)^{1+n} a_1 \cdot \det(\text{另一子式})$，最终化简得到上述结果。
公式：\det B = 1 + (-1)^{n+1} \prod_{i=1}^n a_i
提示：注意符号 $(-1)^{n+1}$，当 $n$ 为奇数时，$\det B = 1 + \prod a_i$；当 $n$ 为偶数时，$\det B = 1 - \prod a_i$。
步骤 6/6
目标：得出正定的充要条件
方程组有非零解当且仅当 $\det B = 0$，即 $\prod_{i=1}^n a_i = (-1)^n$。此时存在非零向量使 $f=0$，故 $f$ 半正定但不正定。反之，若 $\prod_{i=1}^n a_i \neq (-1)^n$，则只有零解，$f>0$ 对所有非零向量成立，故 $f$ 正定。
因此，$f$ 正定的充分必要条件是：
\[ \prod_{i=1}^n a_i \neq (-1)^n. \]
公式：\prod_{i=1}^n a_i \neq (-1)^n
提示：注意 $(-1)^n$ 的取值：$n$ 为奇数时等于 $-1$，$n$ 为偶数时等于 $1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。