陕西师范大学 2023年高等代数第4题
📝 题目
4．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，已知
$$
a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)
$$
且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明A是奇异矩阵
由于每行和为零，即对每个$i$有$\sum_{j=1}^n a_{ij}=0$，所以向量$\mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T$满足$A\mathbf{1}=0$。因此$0$是$A$的特征值，$\det A=0$，从而$\operatorname{rank}(A)\le n-1$。
公式：A\mathbf{1}=0
提示：注意每行和为零的条件直接给出零特征值，但需确认$\mathbf{1}$非零。
步骤 2/4
目标：构造n-1阶主子式并证明其非奇异
考虑$A$的前$n-1$行和前$n-1$列构成的子矩阵$B$。对$i=1,\dots,n-1$，由每行和为零得$a_{ii} = -\sum_{j\neq i} a_{ij}$。由于$a_{ij}<0$（$i\neq j$），有$a_{ii} > -\sum_{j=1, j\neq i}^{n-1} a_{ij} = \sum_{j=1, j\neq i}^{n-1} |a_{ij}|$，因为$a_{in}<0$使得不等式严格成立。因此$B$是严格对角占优矩阵，且对角元为正，非对角元非正。严格对角占优矩阵的行列式非零，故$\det B \neq 0$。
公式：a_{ii} > \sum_{j=1, j\neq i}^{n-1} |a_{ij}|
提示：严格对角占优要求对角元的绝对值大于同行其他元素绝对值之和，这里利用$a_{in}<0$得到严格不等式。
步骤 3/4
目标：由非零子式得出秩的下界
由于$B$是$A$的一个$n-1$阶子式且$\det B \neq 0$，所以$A$的秩至少为$n-1$，即$\operatorname{rank}(A)\ge n-1$。
提示：注意子式非零意味着该子矩阵列向量线性无关，从而原矩阵的列秩至少为$n-1$。
步骤 4/4
目标：综合上下界得出秩为n-1
由步骤1得$\operatorname{rank}(A)\le n-1$，由步骤3得$\operatorname{rank}(A)\ge n-1$，因此$\operatorname{rank}(A)=n-1$。
提示：注意秩是整数，上下界相等即得结论。
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