陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
一．（15 分）证明：对于任意的非负整数 $n$ ，复数域上的多项式 $\displaystyle x^{2}+x+1, x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}$ 都有
$$
x^{2}+x+1 \mid x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入单位根并转化问题
设 $\omega$ 为 $x^2+x+1=0$ 的根，即 $\omega^2+\omega+1=0$，则 $\omega^3=1$ 且 $\omega \neq 1$。要证 $x^2+x+1 \mid x^{n+2}+(x+1)^{2n+1}$，只需证 $\omega$ 是 $x^{n+2}+(x+1)^{2n+1}$ 的根，即 $\omega^{n+2}+(\omega+1)^{2n+1}=0$。
公式：$\omega^2+\omega+1=0$，$\omega^3=1$
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，且 $\omega \neq 1$，因此 $\omega^2+\omega+1=0$ 等价于 $\omega^3=1$ 且 $\omega \neq 1$。
步骤 2/6
目标：化简 $\omega+1$
由 $\omega^2+\omega+1=0$ 得 $\omega+1 = -\omega^2$。
公式：$\omega+1 = -\omega^2$
提示：注意移项时符号变化，$\omega+1 = -\omega^2$ 而不是 $\omega^2$。
步骤 3/6
目标：代入并化简表达式
计算 $\omega^{n+2}+(\omega+1)^{2n+1} = \omega^{n+2} + (-\omega^2)^{2n+1} = \omega^{n+2} - \omega^{4n+2}$。
公式：$(-\omega^2)^{2n+1} = -\omega^{4n+2}$
提示：注意 $2n+1$ 是奇数，所以负号保留。
步骤 4/6
目标：利用 $\omega^3=1$ 化简指数
由于 $\omega^3=1$，有 $\omega^{4n+2} = \omega^{3n} \cdot \omega^{n+2} = (\omega^3)^n \cdot \omega^{n+2} = 1^n \cdot \omega^{n+2} = \omega^{n+2}$。
公式：$\omega^{4n+2} = \omega^{n+2}$
提示：指数化简时，注意 $4n+2 = 3n + (n+2)$，利用 $\omega^{3n}=1$。
步骤 5/6
目标：得出根为零
因此 $\omega^{n+2} - \omega^{4n+2} = \omega^{n+2} - \omega^{n+2} = 0$，故 $\omega$ 是 $x^{n+2}+(x+1)^{2n+1}$ 的根。
提示：注意减法结果为零，说明 $\omega$ 满足方程。
步骤 6/6
目标：由根整除多项式
由于 $x^2+x+1$ 无重根（判别式 $1-4=-3 \neq 0$），且 $\omega$ 和其共轭 $\bar{\omega}$ 都是 $x^2+x+1$ 的根，因此 $x^2+x+1$ 整除 $x^{n+2}+(x+1)^{2n+1}$。
提示：注意多项式整除的判定：如果多项式 $f(x)$ 无重根，且所有根都是 $g(x)$ 的根，则 $f(x) \mid g(x)$。
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