📝 陕西师范大学 2025年高等代数真题

一．（15 分）证明：对于任意的非负整数 $n$ ，复数域上的多项式 $\displaystyle x^{2}+x+1, x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}$ 都有

$$
x^{2}+x+1 \mid x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}
$$

七．（15 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，若 $\displaystyle V_{1} \cup V_{2}$ 也是 $V$ 的子空间．证明：
（1）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V_{1}+V_{2}$ ．
（2）$\displaystyle V_{1} \subset V_{2}$ 或者 $\displaystyle V_{2} \subset V_{1}$ ．

三．（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}(n \geq 3)$ 线性无关，且

$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n}, \beta_{n}=\alpha_{1}+\alpha_{n}
$$

讨论向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 的线性相关性．

九．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级正交方阵，若 $\displaystyle |A| \neq|B|$ ，证明：$\displaystyle A+B$ 是不可逆矩阵．

二．（15 分）计算行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
-a & x & a & \cdots & a \\
-a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-a & -a & -a & \cdots & x
\end{array}\right|
$$

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明：
（1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量．
（2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

八．（20 分）设 $V$ 是复数域上的一个 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的一个不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

六．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是 $n$ 级方阵，且 $A$ 和 $B$ 都可逆，证明：矩阵

$$
M=\left(\begin{array}{cc}
A & A \\
C-B & C
\end{array}\right)
$$

可逆，并求矩阵 $M$ 的逆．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $m$ 的 $\displaystyle m \times n$ 级矩阵，$B$ 是秩为 $\displaystyle n-m$ 的 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，而且 $\displaystyle A B=O$ ．若 $n$维向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解．证明：存在唯一的 $\displaystyle n-m$ 维列向量 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle \eta=B \xi$ ．