陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二．（15 分）计算行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
-a & x & a & \cdots & a \\
-a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-a & -a & -a & \cdots & x
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将第2至n列加到第1列
将第2,3,…,n列分别加到第1列，得到新的行列式：
$$D_n=\begin{vmatrix}
x+(n-1)a & a & a & \cdots & a \\
-(n-1)a & x & a & \cdots & a \\
-(n-1)a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-(n-1)a & -a & -a & \cdots & x
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一列乘以常数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意列变换时，每列加到第1列，第1列元素变为原第1列元素加上其他列对应元素之和。
步骤 2/4
目标：提取第1列公因子
第1列所有元素都有公因子$x+(n-1)a$，提取出来：
$$D_n=[x+(n-1)a]\begin{vmatrix}
1 & a & a & \cdots & a \\
-1 & x & a & \cdots & a \\
-1 & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-1 & -a & -a & \cdots & x
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：若某列所有元素有公因子，则可提取到行列式外。
提示：注意提取公因子时，只提取该列的公因子，其他列不变。
步骤 3/4
目标：将第1行乘以1加到第2至n行
将第1行乘以1分别加到第2,3,…,n行，得到：
$$D_n=[x+(n-1)a]\begin{vmatrix}
1 & a & a & \cdots & a \\
0 & x+a & 2a & \cdots & 2a \\
0 & 0 & x+a & \cdots & 2a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x+a
\end{vmatrix}.$$
注意：第2行第2列变为$x+a$，第2行第3列及以后变为$a+a=2a$；第3行第3列变为$x+a$，第3行第4列及以后变为$a+a=2a$；以此类推。
公式：行列式性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意行变换时，第1行乘以1加到第i行，第i行第j列变为原第i行第j列加上第1行第j列。由于第1行第1列是1，第1行其他列是a，所以第i行第1列变为-1+1=0，第i行第i列变为x+a，第i行第j列（j>i）变为a+a=2a，第i行第j列（j
步骤 4/4
目标：化为上三角行列式并求值
现在行列式是上三角形式，对角线上元素为：第1行第1列是1，第2行第2列是$x+a$，第3行第3列是$x+a$，…，第n行第n列是$x+a$。因此，行列式的值等于对角线元素的乘积：
$$D_n=[x+(n-1)a] \cdot 1 \cdot (x+a)^{n-1} = [x+(n-1)a](x+a)^{n-1}.$$
公式：上三角行列式的值等于对角线元素的乘积。
提示：注意对角线元素个数：第1行第1列是1，其余n-1个对角线元素都是x+a，所以乘积为1*(x+a)^{n-1}。
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