陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
六．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是 $n$ 级方阵，且 $A$ 和 $B$ 都可逆，证明：矩阵
$$
M=\left(\begin{array}{cc}
A & A \\
C-B & C
\end{array}\right)
$$
可逆，并求矩阵 $M$ 的逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造分块初等矩阵，对M进行行变换
设 $M = \begin{pmatrix} A & A \\ C-B & C \end{pmatrix}$，其中 $A, B, C$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A, B$ 可逆。左乘分块初等矩阵 $P = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -I & I \end{pmatrix}$，得
$$PM = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -I & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & A \\ C-B & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & A \\ -A + C - B & -A + C \end{pmatrix}.$$
公式：$P = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -I & I \end{pmatrix}$
提示：注意分块矩阵乘法时，块的大小要匹配，这里每个块都是n阶方阵。
步骤 2/7
目标：对变换后的矩阵进行列变换
右乘分块初等矩阵 $Q = \begin{pmatrix} I & -I \\ 0 & I \end{pmatrix}$，得
$$PMQ = \begin{pmatrix} A & A \\ -A + C - B & -A + C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & -I \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ -A + C - B & B \end{pmatrix}.$$
公式：$Q = \begin{pmatrix} I & -I \\ 0 & I \end{pmatrix}$
提示：列变换时，右乘初等矩阵，注意顺序。
步骤 3/7
目标：证明M可逆
由于 $A$ 和 $B$ 可逆，矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ -A + C - B & B \end{pmatrix}$ 是分块下三角矩阵，其行列式等于 $\det(A)\det(B) \neq 0$，因此可逆。又 $P$ 和 $Q$ 可逆，故 $M = P^{-1}(PMQ)Q^{-1}$ 可逆。
公式：$\det(M) = \det(P^{-1})\det(PMQ)\det(Q^{-1}) \neq 0$
提示：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积。
步骤 4/7
目标：求分块三角矩阵的逆
设 $N = \begin{pmatrix} A & 0 \\ -A + C - B & B \end{pmatrix}$，则 $N^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ -B^{-1}(-A + C - B)A^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ B^{-1}(A - C + B)A^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} A & 0 \\ C & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}$
提示：注意分块下三角矩阵求逆公式，非对角块要加负号。
步骤 5/7
目标：利用初等变换关系求M的逆
由 $PMQ = N$ 得 $M = P^{-1} N Q^{-1}$，所以 $M^{-1} = Q N^{-1} P$。其中 $P^{-1} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ I & I \end{pmatrix}$，$Q^{-1} = \begin{pmatrix} I & I \\ 0 & I \end{pmatrix}$，故 $P = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -I & I \end{pmatrix}$，$Q = \begin{pmatrix} I & -I \\ 0 & I \end{pmatrix}$。
公式：$M^{-1} = Q N^{-1} P$
提示：注意逆矩阵的顺序：$M^{-1} = (P^{-1} N Q^{-1})^{-1} = Q N^{-1} P$。
步骤 6/7
目标：计算矩阵乘积，得到M的逆
先计算 $Q N^{-1}$：
$$Q N^{-1} = \begin{pmatrix} I & -I \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ B^{-1}(A - C + B)A^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^{-1} - B^{-1}(A - C + B)A^{-1} & -B^{-1} \\ B^{-1}(A - C + B)A^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}.$$
再右乘 $P$：
$$M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} - B^{-1}(A - C + B)A^{-1} & -B^{-1} \\ B^{-1}(A - C + B)A^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0 \\ -I & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^{-1} - B^{-1}(A - C + B)A^{-1} + B^{-1} & -B^{-1} \\ B^{-1}(A - C + B)A^{-1} - B^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}.$$
公式：分块矩阵乘法
提示：矩阵乘法注意顺序，左乘右乘不能混淆。
步骤 7/7
目标：化简结果
化简第一行第一列：
$$A^{-1} - B^{-1}(A - C + B)A^{-1} + B^{-1} = A^{-1} - B^{-1}AA^{-1} + B^{-1}CA^{-1} - B^{-1}BA^{-1} + B^{-1} = A^{-1} - B^{-1} + B^{-1}CA^{-1} - A^{-1} + B^{-1} = B^{-1}CA^{-1}.$$
化简第二行第一列：
$$B^{-1}(A - C + B)A^{-1} - B^{-1} = B^{-1}AA^{-1} - B^{-1}CA^{-1} + B^{-1}BA^{-1} - B^{-1} = I - B^{-1}CA^{-1} + A^{-1} - B^{-1}.$$
因此
$$M^{-1} = \begin{pmatrix} B^{-1}CA^{-1} & -B^{-1} \\ I - B^{-1}CA^{-1} + A^{-1} - B^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}.$$
公式：矩阵乘法分配律
提示：化简时注意 $AA^{-1}=I$，$BB^{-1}=I$，以及 $B^{-1}B=I$。
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