陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
八．（20 分）设 $V$ 是复数域上的一个 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的一个不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确特征子空间定义
设 $\lambda_0$ 是 $\sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $V_{\lambda_0} = \{ \alpha \in V \mid \sigma(\alpha) = \lambda_0 \alpha \}$。
公式：$V_{\lambda_0} = \{ \alpha \in V \mid \sigma(\alpha) = \lambda_0 \alpha \}$
提示：注意特征子空间包含零向量，但零向量不是特征向量。
步骤 2/6
目标：证明特征子空间在τ下不变
对任意 $\alpha \in V_{\lambda_0}$，有 $\sigma(\alpha) = \lambda_0 \alpha$。由于 $\sigma \tau = \tau \sigma$，计算 $\sigma(\tau(\alpha)) = \tau(\sigma(\alpha)) = \tau(\lambda_0 \alpha) = \lambda_0 \tau(\alpha)$，所以 $\tau(\alpha) \in V_{\lambda_0}$。因此 $V_{\lambda_0}$ 是 $\tau$ 的不变子空间。
公式：$\sigma(\tau(\alpha)) = \tau(\sigma(\alpha))$
提示：利用交换性时，注意运算顺序：先应用τ再σ等于先σ再τ。
步骤 3/6
目标：利用复数域上特征值存在性
由于 $V$ 是复数域上的线性空间，$\sigma$ 至少有一个特征值 $\lambda_0$，对应的特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 非零。
提示：复数域上任何线性变换都有特征值，这是代数基本定理的推论。
步骤 4/6
目标：限制τ到不变子空间
由(1)知 $V_{\lambda_0}$ 是 $\tau$ 的不变子空间，将 $\tau$ 限制在 $V_{\lambda_0}$ 上，得到 $V_{\lambda_0}$ 上的线性变换 $\tau|_{V_{\lambda_0}}$。
公式：$\tau|_{V_{\lambda_0}} : V_{\lambda_0} \to V_{\lambda_0}$
提示：限制变换的定义域和值域都是子空间，需验证线性性。
步骤 5/6
目标：在不变子空间中找τ的特征向量
由于 $V_{\lambda_0}$ 是复数域上的非零线性空间，$\tau|_{V_{\lambda_0}}$ 至少有一个特征值 $\mu_0$ 和对应的特征向量 $\alpha \in V_{\lambda_0}$，即 $\tau(\alpha) = \mu_0 \alpha$。
公式：$\tau(\alpha) = \mu_0 \alpha$
提示：注意特征向量不能是零向量。
步骤 6/6
目标：验证公共特征向量
因为 $\alpha \in V_{\lambda_0}$，有 $\sigma(\alpha) = \lambda_0 \alpha$。同时 $\tau(\alpha) = \mu_0 \alpha$，所以 $\alpha$ 是 $\sigma$ 和 $\tau$ 的公共特征向量。
公式：$\sigma(\alpha) = \lambda_0 \alpha, \quad \tau(\alpha) = \mu_0 \alpha$
提示：公共特征向量同时是两个变换的特征向量，特征值可能不同。
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