陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三．（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}(n \geq 3)$ 线性无关，且
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n}, \beta_{n}=\alpha_{1}+\alpha_{n}
$$
讨论向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 的线性相关性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设线性组合为零
设存在一组数 $k_1, k_2, \ldots, k_n$ 使得 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n = 0$，即 $k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + \cdots + k_{n-1}(\alpha_{n-1}+\alpha_n) + k_n(\alpha_1+\alpha_n) = 0$。
提示：注意线性组合的系数与向量组中向量的对应关系。
步骤 2/6
目标：整理合并同类项
将上式按 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 合并同类项，得到 $(k_1+k_n)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + \cdots + (k_{n-1}+k_n)\alpha_n = 0$。
提示：注意每个 $\alpha_i$ 的系数来自哪些 $\beta_j$。
步骤 3/6
目标：利用线性无关性得到齐次方程组
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性无关，所以系数全为零：
\begin{cases}
k_1 + k_n = 0, \\
k_1 + k_2 = 0, \\
k_2 + k_3 = 0, \\
\cdots \\
k_{n-2} + k_{n-1} = 0, \\
k_{n-1} + k_n = 0.
\end{cases}
公式：线性无关向量组的线性组合为零当且仅当系数全为零。
提示：注意方程组有 n 个方程，但最后一个方程是 $k_{n-1}+k_n=0$，不要遗漏。
步骤 4/6
目标：递推求解系数关系
从第一个方程得 $k_n = -k_1$；从第二个方程得 $k_2 = -k_1$；从第三个方程得 $k_3 = -k_2 = k_1$；依此类推，可得 $k_i = (-1)^{i-1}k_1$，其中 $i=1,2,\ldots,n$。
提示：注意递推时符号的变化规律：$k_i = (-1)^{i-1}k_1$。
步骤 5/6
目标：验证最后一个方程
将 $k_{n-1} = (-1)^{n-2}k_1$ 和 $k_n = (-1)^{n-1}k_1$ 代入最后一个方程 $k_{n-1}+k_n=0$，得 $(-1)^{n-2}k_1 + (-1)^{n-1}k_1 = (-1)^{n-2}(1-1)k_1 = 0$，恒成立。
提示：注意 $(-1)^{n-2} + (-1)^{n-1} = 0$ 恒成立，因此最后一个方程不产生新约束。
步骤 6/6
目标：判断线性相关性
方程组有非零解（例如取 $k_1=1$，则 $k_2=-1, k_3=1, \ldots$），因此向量组 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ 线性相关。
提示：线性相关定义：存在不全为零的系数使线性组合为零。
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