陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明：
（1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量．
（2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定核空间的维数
由题设，齐次线性方程组 $AX=0$ 的基础解系包含3个解向量，故 $\dim\ker A = 3$。同理，$BX=0$ 的基础解系包含2个解向量，故 $\dim\ker B = 2$。由维数定理，$\dim\operatorname{Im} A = 4 - \dim\ker A = 1$，$\dim\operatorname{Im} B = 4 - \dim\ker B = 2$。
公式：$\dim\ker A + \dim\operatorname{Im} A = 4$
提示：注意基础解系中解向量的个数就是核空间的维数。
步骤 2/5
目标：分析ABX=0的解空间结构
方程组 $ABX=0$ 即 $A(BX)=0$，所以 $BX \in \ker A$。因此解空间为 $\{X \mid BX \in \ker A\}$。由于 $\ker B \subseteq \ker(AB)$，故 $\ker(AB)$ 至少包含 $\ker B$，从而至少有2个线性无关的解。
公式：$\ker B \subseteq \ker(AB)$
提示：注意 $Bx=0$ 时 $ABx=0$ 显然成立。
步骤 3/5
目标：利用维数公式得到交空间维数下界
考虑 $\ker A$ 与 $\operatorname{Im} B$ 的交集。由维数公式：$\dim(\ker A \cap \operatorname{Im} B) = \dim\ker A + \dim\operatorname{Im} B - \dim(\ker A + \operatorname{Im} B) \geq 3+2-4 = 1$。故存在非零向量 $y \in \ker A \cap \operatorname{Im} B$。
公式：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W) \geq \dim U + \dim W - \dim V$
提示：注意 $\ker A + \operatorname{Im} B \subseteq \mathbb{R}^4$，故其维数不超过4。
步骤 4/5
目标：构造第三个线性无关的解向量
取非零 $y \in \ker A \cap \operatorname{Im} B$，则存在 $x$ 使得 $Bx = y$。由于 $y \neq 0$，故 $x \notin \ker B$。又 $ABx = Ay = 0$，所以 $x \in \ker(AB)$。且 $x$ 与 $\ker B$ 线性无关（否则若 $x \in \ker B$，则 $Bx=0$ 矛盾）。因此 $\ker(AB)$ 包含 $\ker B$ 和 $x$，且 $\dim\ker B = 2$，故 $\ker(AB)$ 至少包含3个线性无关的解向量。
提示：注意 $x$ 与 $\ker B$ 的线性无关性需要论证。
步骤 5/5
目标：证明4A+5B有实特征向量
考虑 $\ker A$ 与 $\ker B$ 的交集。由维数公式：$\dim(\ker A \cap \ker B) = \dim\ker A + \dim\ker B - \dim(\ker A + \ker B) \geq 3+2-4 = 1$。故存在非零向量 $x \in \ker A \cap \ker B$，即 $Ax=0$ 且 $Bx=0$。于是 $(4A+5B)x = 0$，所以 $x$ 是 $4A+5B$ 的属于特征值0的特征向量。因此 $4A+5B$ 有实特征向量。
公式：$\dim(\ker A \cap \ker B) \geq \dim\ker A + \dim\ker B - 4$
提示：注意实特征向量要求特征向量本身是实向量，这里 $x$ 是实向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。