陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，若 $\displaystyle V_{1} \cup V_{2}$ 也是 $V$ 的子空间．证明：
（1）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V_{1}+V_{2}$ ．
（2）$\displaystyle V_{1} \subset V_{2}$ 或者 $\displaystyle V_{2} \subset V_{1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 (1) 中的包含关系 V1+V2 ⊆ V1∪V2
由于 $V_1 \cup V_2$ 是子空间，且 $V_1 \subseteq V_1 \cup V_2$，$V_2 \subseteq V_1 \cup V_2$，根据子空间的和的定义，$V_1 + V_2$ 是包含 $V_1$ 和 $V_2$ 的最小子空间，而 $V_1 \cup V_2$ 本身是一个子空间，因此 $V_1 + V_2 \subseteq V_1 \cup V_2$。
提示：注意子空间的和的定义：$V_1+V_2 = \{v_1+v_2 \mid v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\}$，且它是包含 $V_1$ 和 $V_2$ 的最小子空间。
步骤 2/5
目标：证明 (1) 中的反向包含关系 V1∪V2 ⊆ V1+V2
对任意 $x \in V_1 \cup V_2$，有 $x \in V_1$ 或 $x \in V_2$。若 $x \in V_1$，则 $x = x + 0$，其中 $0 \in V_2$，故 $x \in V_1 + V_2$；若 $x \in V_2$，则 $x = 0 + x$，其中 $0 \in V_1$，故 $x \in V_1 + V_2$。因此 $V_1 \cup V_2 \subseteq V_1 + V_2$。
提示：注意 $0$ 属于任何子空间，因此 $0 \in V_1$ 且 $0 \in V_2$。
步骤 3/5
目标：由两个包含关系得到 (1) 的等式
由 $V_1 + V_2 \subseteq V_1 \cup V_2$ 和 $V_1 \cup V_2 \subseteq V_1 + V_2$，可得 $V_1 \cup V_2 = V_1 + V_2$。
提示：集合相等需要证明两个方向的包含关系。
步骤 4/5
目标：证明 (2)：假设结论不成立，引出矛盾
假设 $V_1 \not\subset V_2$ 且 $V_2 \not\subset V_1$，则存在 $\alpha \in V_1 \setminus V_2$，$\beta \in V_2 \setminus V_1$。考虑 $\alpha + \beta$。由于 $V_1 \cup V_2$ 是子空间，且 $\alpha, \beta \in V_1 \cup V_2$，则 $\alpha + \beta \in V_1 \cup V_2$。
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别属于不同的子空间但不属于另一个。
步骤 5/5
目标：分析 α+β 属于 V1 或 V2 的情况，导出矛盾
若 $\alpha + \beta \in V_1$，则 $\beta = (\alpha + \beta) - \alpha \in V_1$（因为 $V_1$ 是子空间，对减法封闭），这与 $\beta \notin V_1$ 矛盾。若 $\alpha + \beta \in V_2$，则 $\alpha = (\alpha + \beta) - \beta \in V_2$，与 $\alpha \notin V_2$ 矛盾。因此假设不成立，故 $V_1 \subset V_2$ 或 $V_2 \subset V_1$。
提示：子空间对加法和数乘封闭，从而对减法也封闭。
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