陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级正交方阵，若 $\displaystyle |A| \neq|B|$ ，证明：$\displaystyle A+B$ 是不可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正交矩阵性质
已知 $A, B$ 是 $n$ 阶正交矩阵，即 $A^T A = I$, $B^T B = I$，且 $|A| \neq |B|$。由于正交矩阵的行列式只能为 $\pm 1$，故 $|A|$ 和 $|B|$ 一个为 $1$，另一个为 $-1$。
公式：A^T A = I, B^T B = I
提示：注意正交矩阵的行列式只能是±1。
步骤 2/5
目标：将A+B写成乘积形式
考虑 $A+B$，将其变形为 $A(I + A^{-1}B)$，则 $|A+B| = |A| \cdot |I + A^{-1}B|$。
公式：|A+B| = |A| \cdot |I + A^{-1}B|
提示：提取公因子时注意矩阵乘法顺序。
步骤 3/5
目标：定义C并分析其性质
由于 $A$ 正交，$A^{-1} = A^T$，且 $A^{-1}B$ 也是正交矩阵（正交矩阵的乘积仍正交）。设 $C = A^{-1}B$，则 $C$ 正交，且 $|C| = |A^{-1}B| = |A^{-1}| \cdot |B| = |A|^{-1} |B| = |A| \cdot |B|$（因为 $|A| = \pm 1$，故 $|A|^{-1} = |A|$）。由 $|A| \neq |B|$ 知 $|C| = |A||B| = -1$。
公式：C = A^{-1}B, |C| = |A||B| = -1
提示：注意正交矩阵逆等于转置，且行列式互为倒数。
步骤 4/5
目标：证明I+C不可逆
由于 $C$ 正交且 $|C| = -1$，则 $C$ 有特征值 $-1$（因为正交矩阵的特征值模为 $1$，且实特征值只能为 $\pm 1$，而行列式为 $-1$ 意味着奇数个 $-1$ 特征值）。设 $\lambda = -1$ 是 $C$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\xi$，则 $C\xi = -\xi$。于是 $(I + C)\xi = \xi + C\xi = \xi - \xi = 0$，故 $I + C$ 有零特征值，从而 $|I + C| = 0$。
公式：(I+C)\xi = 0
提示：正交矩阵的特征值模为1，实特征值只能是±1。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $|A+B| = |A| \cdot 0 = 0$，即 $A+B$ 不可逆。
公式：|A+B| = 0
提示：行列式为0则矩阵不可逆。
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