陕西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $m$ 的 $\displaystyle m \times n$ 级矩阵，$B$ 是秩为 $\displaystyle n-m$ 的 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，而且 $\displaystyle A B=O$ ．若 $n$维向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解．证明：存在唯一的 $\displaystyle n-m$ 维列向量 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle \eta=B \xi$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定解空间维数
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，秩为 $m$，则齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(A) = n - m$。
公式：解空间维数 = n - rank(A)
提示：注意秩为 m 意味着行满秩，但列数 n 可能大于 m，所以解空间维数为 n-m。
步骤 2/4
目标：分析矩阵 B 的列向量
已知 $B$ 是 $n \times (n-m)$ 矩阵，秩为 $n-m$，且 $AB=O$，即 $B$ 的每一列都是 $AX=0$ 的解。由于 $B$ 的列秩为 $n-m$，且解空间维数也是 $n-m$，因此 $B$ 的列向量构成解空间的一组基。
公式：AB=O ⇒ B的列向量是解
提示：注意 B 的列数等于解空间维数，且列满秩，所以列向量线性无关，构成基。
步骤 3/4
目标：表示任意解 η
对于任意解 $\eta$（即 $A\eta=0$），由于 $B$ 的列向量是解空间的一组基，$\eta$ 可由这组基唯一线性表示，即存在唯一的 $n-m$ 维列向量 $\xi$ 使得 $\eta = B\xi$。
公式：η = Bξ
提示：基的线性表示唯一性依赖于基的线性无关性。
步骤 4/4
目标：证明唯一性
若 $\eta = B\xi_1 = B\xi_2$，则 $B(\xi_1-\xi_2)=0$。由于 $B$ 列满秩，齐次线性方程组 $B\zeta=0$ 只有零解，故 $\xi_1-\xi_2=0$，即 $\xi$ 唯一。
公式：B列满秩 ⇒ Bζ=0 只有零解
提示：列满秩矩阵的零空间只有零向量。
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