陕西师范大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（ 10 分）设 4 级矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
2 \gamma_{2} \\
3 \gamma_{3} \\
4 \gamma_{4}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}
\beta \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3} \\
\gamma_{4}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 均为 4 维行向量，且已知 $\displaystyle |A|=2800,|B|=100$ ，试计算行列式 $\displaystyle |A-B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出A-B的行向量表示
由题，$A$的行向量为$\alpha, 2\gamma_2, 3\gamma_3, 4\gamma_4$，$B$的行向量为$\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$。则$A-B$的行向量为$\alpha-\beta, \gamma_2, 2\gamma_3, 3\gamma_4$。
提示：注意行向量相减时对应行相减，且$B$的第二行是$\gamma_2$，所以$A-B$的第二行是$2\gamma_2 - \gamma_2 = \gamma_2$，类似地第三行$3\gamma_3-\gamma_3=2\gamma_3$，第四行$4\gamma_4-\gamma_4=3\gamma_4$。
步骤 2/7
目标：提取行列式中的公因子
由行列式性质，若某行有公因子，可提出。$|A-B| = \begin{vmatrix} \alpha-\beta \\ \gamma_2 \\ 2\gamma_3 \\ 3\gamma_4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} \alpha-\beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} \alpha-\beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix}$。
公式：若行列式某行有公因子$k$，则$k$可提到行列式外。
提示：注意只有一行有公因子时才提该行的因子，不同行的因子分别提出。
步骤 3/7
目标：利用行列式的线性性质拆分
行列式对行具有线性性，第一行是两个向量的和，可拆分为两个行列式之和：$\begin{vmatrix} \alpha-\beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} \beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix}$。
公式：$\det(\alpha-\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) = \det(\alpha, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) - \det(\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4)$。
提示：注意符号：减号是因为$\alpha-\beta = \alpha + (-\beta)$，提出$-1$后得到减号。
步骤 4/7
目标：由已知|A|求第一个行列式
已知$|A| = \begin{vmatrix} \alpha \\ 2\gamma_2 \\ 3\gamma_3 \\ 4\gamma_4 \end{vmatrix} = 2\cdot3\cdot4 \begin{vmatrix} \alpha \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = 24 \begin{vmatrix} \alpha \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = 2800$，所以$\begin{vmatrix} \alpha \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = \frac{2800}{24} = \frac{350}{3}$。
公式：提取公因子：$|A| = 2\cdot3\cdot4 \cdot \det(\alpha, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4)$。
提示：注意公因子是每行分别提取，不要漏乘。
步骤 5/7
目标：由已知|B|得第二个行列式
已知$|B| = \begin{vmatrix} \beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = 100$。
提示：这里$B$的行向量没有公因子，直接等于100。
步骤 6/7
目标：计算拆分后的行列式值
代入得：$\begin{vmatrix} \alpha-\beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \gamma_4 \end{vmatrix} = \frac{350}{3} - 100 = \frac{350}{3} - \frac{300}{3} = \frac{50}{3}$。
提示：通分计算，注意分数减法。
步骤 7/7
目标：计算最终结果
于是$|A-B| = 6 \cdot \frac{50}{3} = 100$。
提示：注意约分：$6 \times \frac{50}{3} = 2 \times 50 = 100$。
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