陕西师范大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．（10分）在齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
中，证明
$$
\begin{gathered}
x_{1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, x_{2}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, \\
\cdots, x_{n}=(-1)^{n-1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{gathered}
$$
是方程组的解，且若这个解不为零，则方程组的任意解可由它乘以某数得到．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助行列式
设系数矩阵 $A=(a_{ij})_{(n-1)\times n}$，方程组为 $A\mathbf{x}=0$。构造 $n$ 阶行列式
$$D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \\
\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \cdots & \mathbf{e}_n
\end{vmatrix},$$
其中 $\mathbf{e}_i$ 是第 $i$ 个标准单位行向量（第 $i$ 分量为1，其余为0）。
提示：注意最后一行是行向量，因此 $D$ 是一个形式行列式，其值是一个行向量。
步骤 2/6
目标：按最后一行展开行列式
将 $D$ 按最后一行展开，得
$$D = \sum_{j=1}^n (-1)^{n+j} M_{nj} \mathbf{e}_j,$$
其中 $M_{nj}$ 是去掉第 $n$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶子式。具体地，
$$M_{n1} = \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1,n}
\end{vmatrix},$$
$$M_{n2} = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1,n}
\end{vmatrix},$$
一般地，$M_{nj}$ 是去掉第 $n$ 行和第 $j$ 列后的子式。
公式：行列式按行展开公式
提示：注意 $M_{nj}$ 的符号由 $(-1)^{n+j}$ 决定。
步骤 3/6
目标：验证与系数矩阵行向量的正交性
取 $A$ 的第 $i$ 行 $(a_{i1},\dots,a_{in})$，计算内积
$$\sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{n+j} M_{nj}.$$
这恰好是行列式
$$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}
\end{vmatrix}$$
按最后一行展开的结果。由于该行列式有两行相同，其值为0，因此
$$\sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{n+j} M_{nj} = 0.$$
这说明向量 $\mathbf{y} = ((-1)^{n+1}M_{n1}, (-1)^{n+2}M_{n2}, \dots, (-1)^{n+n}M_{nn})^T$ 满足 $A\mathbf{y}=0$，即 $\mathbf{y}$ 是方程组的解。
公式：行列式性质：两行相同则行列式为0
提示：注意内积结果对应行列式按最后一行展开，而最后一行与第 $i$ 行相同。
步骤 4/6
目标：调整符号得到题目形式
注意到 $(-1)^{n+j} = (-1)^{n-1}(-1)^{j-1}$，因此
$$y_j = (-1)^{n+j} M_{nj} = (-1)^{n-1} (-1)^{j-1} M_{nj}.$$
题目中给出的解为
$$x_1 = M_{n1},\quad x_2 = -M_{n2},\quad \dots,\quad x_n = (-1)^{n-1} M_{nn}.$$
即 $x_j = (-1)^{j-1} M_{nj}$。比较得 $\mathbf{x} = (-1)^{n-1} \mathbf{y}$，由于 $\mathbf{y}$ 是解，$\mathbf{x}$ 也是解。
提示：注意符号变换：$(-1)^{n+j} = (-1)^{n-1}(-1)^{j-1}$。
步骤 5/6
目标：讨论解空间维数
若 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，则方程组有非零解。由于方程组有 $n-1$ 个方程，$n$ 个未知数，系数矩阵 $A$ 的秩 $r \leq n-1$。又因为存在非零解，所以 $r < n$，实际上 $r = n-1$（否则若 $r < n-1$，解空间维数大于1，但这里我们只得到一个非零解，需要进一步说明）。更严谨地，由 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 知 $A$ 的 $n-1$ 行线性无关（否则所有 $n-1$ 阶子式为0，导致 $\mathbf{x}=0$），故 $r = n-1$。因此解空间维数为 $n - r = 1$。
公式：线性方程组解空间维数 = n - rank(A)
提示：注意 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 意味着至少有一个 $M_{nj} \neq 0$，从而 $A$ 的某 $n-1$ 列线性无关，故秩为 $n-1$。
步骤 6/6
目标：结论：任意解可由该解线性表示
由于解空间维数为1，任何解向量都是 $\mathbf{x}$ 的标量倍。因此，若 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，则方程组的任意解可表示为 $k\mathbf{x}$，其中 $k$ 为任意常数。
提示：注意：当 $\mathbf{x}=0$ 时，结论不成立（此时方程组只有零解）。
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