陕西师范大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．（10 分）设 $\displaystyle A \in M_{m \times n}(P)$ ，证明：$A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $M$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $N$ ，使得 $\displaystyle A=M N$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：必要性：利用秩标准型分解
设 $A$ 的秩为 $r$，则存在可逆矩阵 $P \in M_m(P)$ 和 $Q \in M_n(P)$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。
公式：$A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
步骤 2/7
目标：必要性：构造 M 和 N
令 $M$ 为 $P$ 的前 $r$ 列构成的 $m \times r$ 矩阵，$N$ 为 $Q$ 的前 $r$ 行构成的 $r \times n$ 矩阵，则 $A = M N$。
公式：$A = M N$
提示：确保 $M$ 和 $N$ 的维度正确：$M$ 是 $m \times r$，$N$ 是 $r \times n$。
步骤 3/7
目标：必要性：验证 M 和 N 的秩为 r
由于 $P$ 可逆，其前 $r$ 列线性无关，故 $M$ 的秩为 $r$；同理，$Q$ 可逆，其前 $r$ 行线性无关，故 $N$ 的秩为 $r$。
提示：可逆矩阵的前 $r$ 列（或行）线性无关，因为可逆矩阵的列（行）向量组是线性无关的。
步骤 4/7
目标：充分性：对 M 进行标准形分解
设存在秩为 $r$ 的 $m \times r$ 矩阵 $M$ 和 $r \times n$ 矩阵 $N$ 使得 $A = M N$。由于 $M$ 的秩为 $r$，存在可逆矩阵 $P \in M_m(P)$ 和 $R \in M_r(P)$ 使得 $M = P \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} R$。
公式：$M = P \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} R$
提示：这里 $\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}$ 是 $m \times r$ 矩阵，$R$ 是 $r \times r$ 可逆矩阵。
步骤 5/7
目标：充分性：对 N 进行标准形分解
由于 $N$ 的秩为 $r$，存在可逆矩阵 $S \in M_r(P)$ 和 $Q \in M_n(P)$ 使得 $N = S \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} Q$。
公式：$N = S \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} Q$
提示：这里 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix}$ 是 $r \times n$ 矩阵，$S$ 是 $r \times r$ 可逆矩阵。
步骤 6/7
目标：充分性：合并分解并化简
代入 $A = M N$ 得 $A = P \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} R S \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} Q$。令 $T = R S$，则 $T$ 是 $r \times r$ 可逆矩阵。于是 $A = P \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} T \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。
公式：$A = P \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
提示：注意矩阵乘法：$\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} T \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
步骤 7/7
目标：充分性：得出 A 的秩为 r
由于 $T$ 可逆，$\begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的秩为 $r$，而 $P$ 和 $Q$ 可逆，故 $A$ 的秩为 $r$。
提示：可逆矩阵相乘不改变秩，所以 $A$ 的秩等于 $\begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的秩。
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