陕西师范大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．（10 分）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正定阵，证明：
$$
0<|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$$
其中 $\displaystyle a_{i i}$ 为 $A$ 的主对角线上的元素，$\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明行列式大于零
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P^T P$，则 $|A| = |P^T P| = |P|^2 > 0$。
公式：A = P^T P, |A| = |P|^2
提示：注意正定矩阵的分解形式，$P$ 可逆保证行列式非零。
步骤 2/8
目标：建立归纳假设
对阶数 $n$ 使用数学归纳法。当 $n=1$ 时，$A = (a_{11})$，$|A| = a_{11}$，不等式取等号，成立。假设结论对 $n-1$ 阶正定矩阵成立。
提示：归纳基础要验证，$n=1$ 时等式成立。
步骤 3/8
目标：分块矩阵表示
将 $n$ 阶正定矩阵 $A$ 分块为 $A = \begin{pmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \alpha^T & a_{nn} \end{pmatrix}$，其中 $A_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶顺序主子式，$\alpha = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{n-1,n})^T$。由于 $A$ 正定，$A_{n-1}$ 也正定，且 $a_{nn} > 0$。
提示：分块时注意 $\alpha$ 是列向量，$\alpha^T$ 是行向量。
步骤 4/8
目标：应用Schur补公式
利用 Schur 补公式：$|A| = |A_{n-1}| \cdot (a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha)$。因为 $A$ 正定，所以 $a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha > 0$。
公式：|A| = |A_{n-1}| \cdot (a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha)
提示：Schur 补公式中 $A_{n-1}$ 可逆，因为正定矩阵可逆。
步骤 5/8
目标：应用归纳假设
由归纳假设，$|A_{n-1}| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n-1,n-1}$。
提示：归纳假设应用于 $n-1$ 阶顺序主子式。
步骤 6/8
目标：估计Schur补的上界
由于 $A_{n-1}$ 正定，$A_{n-1}^{-1}$ 也正定，所以 $\alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \geq 0$，从而 $a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \leq a_{nn}$。
公式：\alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha \geq 0
提示：正定矩阵的二次型非负，注意等号成立当且仅当 $\alpha = 0$。
步骤 7/8
目标：合并得到不等式
因此 $|A| = |A_{n-1}| \cdot (a_{nn} - \alpha^T A_{n-1}^{-1} \alpha) \leq (a_{11} \cdots a_{n-1,n-1}) \cdot a_{nn} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$。
提示：注意乘积顺序，下标对应。
步骤 8/8
目标：总结结论
由归纳法，对任意 $n$ 阶正定矩阵 $A$，有 $0 < |A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$。
提示：归纳法完成，注意 $|A|>0$ 已单独证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。