陕西师范大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 级幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{1}$ ， $\displaystyle (A-E) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义解空间
设 $W_1 = \{X \in P^n \mid AX = 0\}$，$W_2 = \{X \in P^n \mid (A-E)X = 0\}$。
提示：注意 $W_1$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间，$W_2$ 是 $(A-E)X=0$ 的解空间。
步骤 2/7
目标：证明 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$
任取 $X \in W_1 \cap W_2$，则 $AX = 0$ 且 $(A-E)X = 0$。由 $(A-E)X = 0$ 得 $AX = X$，结合 $AX = 0$ 得 $X = 0$。故 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：$(A-E)X=0 \Rightarrow AX = X$
提示：注意 $A$ 是幂等矩阵，但此处未直接使用 $A^2=A$，而是从 $(A-E)X=0$ 推导出 $AX=X$。
步骤 3/7
目标：构造分解 $X = X_1 + X_2$
任取 $X \in P^n$，令 $X_1 = (E-A)X$，$X_2 = AX$。则 $X = X_1 + X_2$。
公式：$X = (E-A)X + AX$
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，$(E-A)X$ 和 $AX$ 都是向量。
步骤 4/7
目标：验证 $X_1 \in W_1$
计算 $A X_1 = A(E-A)X = (A - A^2)X = (A - A)X = 0$，故 $X_1 \in W_1$。
公式：$A^2 = A$
提示：这里使用了幂等矩阵的性质 $A^2=A$，注意运算顺序。
步骤 5/7
目标：验证 $X_2 \in W_2$
计算 $(A-E)X_2 = (A-E)AX = (A^2 - A)X = (A - A)X = 0$，故 $X_2 \in W_2$。
公式：$A^2 = A$
提示：同样使用 $A^2=A$，注意 $(A-E)A = A^2 - A$。
步骤 6/7
目标：证明 $P^n = W_1 + W_2$
由上述构造，任意 $X \in P^n$ 可表示为 $X = X_1 + X_2$ 且 $X_1 \in W_1, X_2 \in W_2$，故 $P^n \subseteq W_1 + W_2$。显然 $W_1 + W_2 \subseteq P^n$，因此 $P^n = W_1 + W_2$。
提示：注意子空间的和仍是子空间，且包含关系需双向证明。
步骤 7/7
目标：结论：直和
由 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ 和 $P^n = W_1 + W_2$ 得 $P^n = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和的条件是交为零且和为全空间。
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