首都师范大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定线性组合并左乘矩阵A
设存在一组数 $k_1, k_2, \dots, k_s, k$，使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_s \alpha_s + k \alpha = 0$。两边左乘矩阵 $A$，得 $k_1 A\alpha_1 + k_2 A\alpha_2 + \cdots + k_s A\alpha_s + k A\alpha = 0$。
提示：注意左乘矩阵时，向量是列向量，矩阵乘法顺序不能颠倒。
步骤 2/6
目标：利用解的性质代入
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 是齐次方程组 $AX=0$ 的解，故 $A\alpha_i = 0$（$i=1,2,\dots,s$）；而 $\alpha$ 是非齐次方程组 $AX=\beta$ 的解，故 $A\alpha = \beta$。代入上式得 $k \beta = 0$。
公式：$A\alpha_i = 0$, $A\alpha = \beta$
提示：注意区分齐次和非齐次解的性质。
步骤 3/6
目标：由β非零推出k=0
因为 $\beta$ 是非零向量，所以 $k=0$。
提示：向量为零的充要条件是每个分量均为零，但这里直接由非零向量与数乘得零推出系数为零。
步骤 4/6
目标：代入k=0化简线性组合
将 $k=0$ 代入原式，得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_s \alpha_s = 0$。
提示：注意此时只剩下齐次解的组合。
步骤 5/6
目标：利用基础解系的线性无关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 是基础解系，线性无关，故 $k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0$。
提示：基础解系是齐次方程组解空间的一组基，必然线性无关。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，所有系数均为零，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s, \alpha$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：仅当所有系数为零时线性组合才为零。
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