上海理工大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\displaystyle A=\alpha \alpha^{T}, n$ 为正整数，求行列式 $\displaystyle \left|a E-A^{n}\right|$ 的值
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A
给定向量 $\alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$，则 $A = \alpha \alpha^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$A = \alpha \alpha^T$
提示：注意矩阵乘法的顺序：列向量乘行向量得到矩阵。
步骤 2/5
目标：求A的特征值
由于 $A$ 是秩为1的矩阵，非零特征值等于 $\alpha^T \alpha = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 2$，其余两个特征值为0。因此 $A$ 的特征值为 $2, 0, 0$。
公式：秩1矩阵的非零特征值为 $\alpha^T \alpha$
提示：秩1矩阵只有一个非零特征值，其余为0。
步骤 3/5
目标：求A^n的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^n$ 是 $A^n$ 的特征值。因此 $A^n$ 的特征值为 $2^n, 0, 0$。
公式：$A^n$ 的特征值为 $\lambda^n$
提示：特征值的幂运算适用于所有特征值。
步骤 4/5
目标：求aE - A^n的特征值
矩阵 $aE - A^n$ 的特征值为 $a$ 减去 $A^n$ 的特征值，即 $a - 2^n, a, a$。
公式：$aE - B$ 的特征值为 $a - \lambda$
提示：注意单位矩阵的特征值全为1，但这里a是标量。
步骤 5/5
目标：计算行列式
行列式等于特征值的乘积：$|aE - A^n| = (a - 2^n) \cdot a \cdot a = a^2 (a - 2^n)$。
公式：$|M| = \prod \lambda_i$
提示：行列式是特征值的乘积，包括重根。
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