上海理工大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．假设 $\displaystyle A_{m \times n}$ 为行满秩实矩阵，$\displaystyle m<n$ ，令 $\displaystyle B=A^{T} A$ 。
（1）证明：使得 $\displaystyle x^{T} B x=0$ 的所有 $x$ 构成 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个线性子空间 $W$ ；
（2）求 $W$ 的维数
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义集合W并验证零向量属于W
设 $W = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x^T B x = 0 \}$。由于 $B = A^T A$ 且 $A$ 是行满秩实矩阵，$m < n$，则 $B$ 是 $n \times n$ 实对称半正定矩阵。首先，$0 \in W$，因为 $0^T B 0 = 0$。
提示：注意验证子空间需要包含零向量。
步骤 2/6
目标：证明W对加法封闭
对任意 $x, y \in W$，有 $x^T B x = 0$，$y^T B y = 0$。考虑 $(x+y)^T B (x+y) = x^T B x + 2x^T B y + y^T B y = 2x^T B y$。由于 $B$ 半正定，存在实对称平方根 $B^{1/2}$，使得 $B = (B^{1/2})^2$。则 $x^T B x = \|B^{1/2} x\|^2 = 0$，故 $B^{1/2} x = 0$。同理 $B^{1/2} y = 0$。因此 $x^T B y = (B^{1/2} x)^T (B^{1/2} y) = 0$。所以 $(x+y)^T B (x+y) = 0$，即 $x+y \in W$。
公式：$x^T B x = \|B^{1/2} x\|^2$
提示：利用半正定矩阵的平方根分解，注意 $B^{1/2}$ 是实对称矩阵。
步骤 3/6
目标：证明W对数乘封闭
对任意 $x \in W$ 和实数 $\lambda$，有 $(\lambda x)^T B (\lambda x) = \lambda^2 x^T B x = 0$，故 $\lambda x \in W$。因此 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。
提示：数乘封闭性直接由二次型性质得到。
步骤 4/6
目标：将W转化为核空间
由 $x^T B x = 0$ 等价于 $\|B^{1/2} x\|^2 = 0$，即 $B^{1/2} x = 0$，亦即 $B x = 0$（因为 $B^{1/2}$ 可逆当且仅当 $B$ 正定，但这里 $B$ 半正定，$B x = 0$ 与 $B^{1/2} x = 0$ 等价）。所以 $W = \ker(B)$。
公式：$W = \ker(B)$
提示：注意 $B$ 半正定，$B x = 0$ 与 $B^{1/2} x = 0$ 等价，但 $B^{1/2}$ 不一定可逆。
步骤 5/6
目标：计算B的秩
由于 $A$ 行满秩，$\operatorname{rank}(A) = m$。而 $B = A^T A$，有 $\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A) = m$（因为 $\ker(A^T A) = \ker(A)$，且 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$）。
公式：$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$
提示：行满秩意味着 $A$ 的秩等于行数 $m$。
步骤 6/6
目标：求W的维数
因此 $\dim \ker(B) = n - \operatorname{rank}(B) = n - m$。故 $W$ 的维数为 $n - m$。
公式：$\dim W = n - m$
提示：核空间的维数等于列数减去秩。
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