上海理工大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵
（1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基
（2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换
（3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性空间的维数和基
线性空间 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 由所有 $n$ 阶实矩阵组成。一组标准基是矩阵 $E_{ij}$，其中 $E_{ij}$ 在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 1，其余为 0，$i,j=1,\dots,n$。共有 $n^2$ 个这样的矩阵，且它们线性无关，因此维数为 $n^2$。
提示：注意基的个数等于维数，标准基是常用的基。
步骤 2/6
目标：证明 $f_A$ 是线性变换
对任意 $X,Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和 $k \in \mathbb{R}$，有
\[
f_A(X+Y) = A(X+Y)+(X+Y)A = AX+AY+XA+YA = (AX+XA)+(AY+YA) = f_A(X)+f_A(Y),
\]
\[
f_A(kX) = A(kX)+(kX)A = k(AX+XA) = k f_A(X).
\]
因此 $f_A$ 满足加法和数乘封闭性，是线性变换。
公式：f_A(X)=AX+XA
提示：验证线性变换需同时验证加法和数乘，注意矩阵乘法分配律。
步骤 3/6
目标：利用对称矩阵对角化简化问题
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。考虑基变换：令 $X = Q Y Q^T$，则 $Y = Q^T X Q$。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，确保变换可逆。
步骤 4/6
目标：在新基下表示 $f_A$
将 $X = Q Y Q^T$ 代入 $f_A$ 的定义：
\[
f_A(X) = A X + X A = Q \Lambda Q^T Q Y Q^T + Q Y Q^T Q \Lambda Q^T = Q (\Lambda Y + Y \Lambda) Q^T.
\]
因此 $f_A$ 在变换 $X \mapsto Y$ 下对应于 $g(Y) = \Lambda Y + Y \Lambda$。
公式：f_A(X) = Q(\Lambda Y + Y \Lambda)Q^T
提示：注意 $Q^T Q = I$，化简时需仔细。
步骤 5/6
目标：确定使 $f_A$ 对角化的基
考虑基 $\{ Q E_{ij} Q^T \mid i,j=1,\dots,n \}$，其中 $E_{ij}$ 是标准基。由于 $Q$ 可逆，这组基是 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基。在该基下，$Y$ 的坐标是 $E_{ij}$ 对应的系数，而 $g(Y) = \Lambda Y + Y \Lambda$ 作用在 $E_{ij}$ 上：
\[
g(E_{ij}) = \Lambda E_{ij} + E_{ij} \Lambda = \lambda_i E_{ij} + \lambda_j E_{ij} = (\lambda_i+\lambda_j) E_{ij}.
\]
因此 $f_A$ 在该基下的矩阵是对角矩阵，对角元为 $\lambda_i+\lambda_j$（按适当顺序排列）。
公式：g(E_{ij}) = (\lambda_i+\lambda_j) E_{ij}
提示：注意 $\Lambda E_{ij}$ 的第 $i$ 行乘以 $\lambda_i$，$E_{ij}\Lambda$ 的第 $j$ 列乘以 $\lambda_j$，结果只有 $(i,j)$ 位置非零。
步骤 6/6
目标：总结答案
（1）$\mathbb{R}^{n \times n}$ 的维数为 $n^2$，一组基为 $\{E_{ij}\}$。
（2）$f_A$ 是线性变换。
（3）取基 $\{ Q E_{ij} Q^T \}$，其中 $Q$ 是正交矩阵使得 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，则 $f_A$ 在该基下的矩阵是对角矩阵 $\operatorname{diag}(\lambda_i+\lambda_j)$（按 $i,j$ 顺序排列）。
提示：注意对角元顺序与基的排列有关，通常按 $i,j$ 的某种顺序。
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