东南大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．（20 分）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$b$ 为 $m$ 维列向量．
（1）若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=E$ ，则对于线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有何结论？并说明理由．
（2）若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=E$ ，则对于线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有何结论？并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解左逆与列满秩的关系
若存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ 使得 $BA = E_n$，则 $A$ 有左逆。左逆存在的充要条件是 $A$ 列满秩，即 $\operatorname{rank}(A) = n$。因为 $BA = E$ 意味着 $A$ 的列向量线性无关，且 $n \leq m$。
公式：BA = E_n
提示：注意左逆是 $n \times m$ 矩阵，$E_n$ 是 $n$ 阶单位阵。
步骤 2/8
目标：分析方程组解的存在性
方程组 $Ax = b$ 有解当且仅当 $b$ 属于 $A$ 的列空间。由于 $A$ 列满秩，其列空间是 $\mathbb{R}^m$ 的 $n$ 维子空间。因此，并非所有 $b$ 都能保证有解，只有 $b$ 在列空间中时才有解。
提示：列满秩不保证对任意 $b$ 有解，只保证解若存在则唯一。
步骤 3/8
目标：推导解的唯一性
若 $Ax = b$ 有解，则解唯一。因为假设 $x_1, x_2$ 都是解，则 $A(x_1 - x_2) = 0$。左乘 $B$ 得 $BA(x_1 - x_2) = E(x_1 - x_2) = 0$，所以 $x_1 = x_2$。
公式：BA = E \Rightarrow x = Bb
提示：左乘 $B$ 是关键步骤，注意 $B$ 是左逆。
步骤 4/8
目标：给出解的表达式
若解存在，则解为 $x = Bb$。因为 $Ax = b$ 左乘 $B$ 得 $BAx = Bb$，即 $x = Bb$。所以 $x = Bb$ 是唯一可能的解，且它确实是解当且仅当 $b$ 在列空间中。
公式：x = Bb
提示：验证 $A(Bb) = b$ 需要 $b$ 在列空间中，否则不成立。
步骤 5/8
目标：总结第(1)问结论
结论：方程组 $Ax = b$ 要么无解，要么有唯一解 $x = Bb$。
步骤 6/8
目标：理解右逆与行满秩的关系
若存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ 使得 $AB = E_m$，则 $A$ 有右逆。右逆存在的充要条件是 $A$ 行满秩，即 $\operatorname{rank}(A) = m$。因为 $AB = E$ 意味着 $A$ 的行向量线性无关，且 $m \leq n$。
公式：AB = E_m
提示：注意右逆是 $n \times m$ 矩阵，$E_m$ 是 $m$ 阶单位阵。
步骤 7/8
目标：分析解的存在性
对任意 $b \in \mathbb{R}^m$，方程组 $Ax = b$ 总有解。因为取 $x = Bb$，则 $A(Bb) = (AB)b = E_m b = b$，所以 $x = Bb$ 是一个特解。
公式：A(Bb) = b
提示：右逆保证对任意 $b$ 都有解，因为 $AB = E$ 是恒等式。
步骤 8/8
目标：推导通解结构
由于 $A$ 行满秩，$A$ 的零空间维数为 $n - m$（若 $n > m$）。通解为 $x = Bb + z$，其中 $z \in \ker(A)$，即 $Az = 0$。因此方程组有无穷多解。
公式：x = Bb + z, \quad z \in \ker(A)
提示：注意零空间非平凡当且仅当 $n > m$；若 $n = m$，则 $A$ 可逆，解唯一。
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