📝 东南大学 2024年高等代数真题

1．（20分）设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 4 维列向量构成的向量空间．

$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
a
\end{array}\right) .
$$

若 $V$ 的子空间 $\displaystyle V_{1}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in P\right\}, V_{2}=\left\{l_{1} \beta_{1}+l_{2} \beta_{2} \mid l_{1}, l_{2} \in\right.$
（1）参数 $a$ 满足什么条件时，$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和？
（2）若 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 不是直和，分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基．

2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。

3．（20分）设 $A$ 为 3 阶方阵，$E$ 为 3 阶单位阵。
（1）若 $\displaystyle |E-A|=|-E-A|=|2 E-A|=0$ ，求 $\displaystyle |3 E-A|$ ．
（2）若 $\displaystyle |E-A|=1,|-E-A|=-1,|2 E-A|=2$ ，求 $\displaystyle |3 E-A|$ ．

4．（20 分）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$b$ 为 $m$ 维列向量．
（1）若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=E$ ，则对于线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有何结论？并说明理由．
（2）若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=E$ ，则对于线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有何结论？并说明理由．

5．（ 15 分）设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1-a & a & 0 \\
-a & 1+a & b \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

针对参数 $\displaystyle a, b$ 的不同取值，分别求 $A$ 的不变因子及初等因子．

6．（10 分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, a_{i j}$ 不全为零，$\displaystyle A_{i j}$ 表示其代数余子式，且满足 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2, \cdots)$ ．证明：$A$ 可逆．

7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得

$$
\beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n}
$$

8．（10 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：

$$
r\binom{f(A)}{g(A)}=r(f(A), g(A))
$$

9．（10 分）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间，其中 $n$ 为正整数，$I$ 为 $V$ 上的恒等变换，即 $\displaystyle I(\alpha)=\alpha, \alpha \in V$ ，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的值域， $\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{B} \mathscr{A}$ 的值域，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ 。

10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．