东南大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．（20分）设 $A$ 为 3 阶方阵，$E$ 为 3 阶单位阵。
（1）若 $\displaystyle |E-A|=|-E-A|=|2 E-A|=0$ ，求 $\displaystyle |3 E-A|$ ．
（2）若 $\displaystyle |E-A|=1,|-E-A|=-1,|2 E-A|=2$ ，求 $\displaystyle |3 E-A|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定特征值
由条件 $|E-A|=0$，$|-E-A|=0$，$|2E-A|=0$ 可知，$1$，$-1$，$2$ 是 $A$ 的特征值。因为 $|\lambda E - A|=0$ 的根即为 $A$ 的特征值。
公式：$|\lambda E - A|=0$
提示：注意 $|\lambda E - A|=0$ 与 $|A-\lambda E|=0$ 等价，但特征值相同。
步骤 2/7
目标：计算 $3E-A$ 的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $3-\lambda$ 是 $3E-A$ 的特征值。因此 $3E-A$ 的特征值为 $3-1=2$，$3-(-1)=4$，$3-2=1$。
公式：$\mu = 3 - \lambda$
提示：注意 $3E-A$ 的特征值等于 $3$ 减去 $A$ 的特征值。
步骤 3/7
目标：计算行列式
行列式等于特征值的乘积：$|3E-A| = 2 \times 4 \times 1 = 8$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \mu_i$
提示：特征值的乘积即为行列式，注意顺序无关。
步骤 4/7
目标：引入特征多项式
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则特征多项式 $f(x)=|xE-A|=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)$。由条件得 $f(1)=1$，$f(-1)=-1$，$f(2)=2$。
公式：$f(x)=|xE-A|$
提示：注意 $f(x)$ 是首一多项式，最高次项系数为1。
步骤 5/7
目标：设多项式形式并代入
设 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，代入已知值：
$f(1)=1+a+b+c=1$，
$f(-1)=-1+a-b+c=-1$，
$f(2)=8+4a+2b+c=2$。
提示：注意符号：$f(-1)=(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$。
步骤 6/7
目标：解方程组
由方程组：
$1+a+b+c=1$ 得 $a+b+c=0$，
$-1+a-b+c=-1$ 得 $a-b+c=0$，
$8+4a+2b+c=2$ 得 $4a+2b+c=-6$。
解得 $a=-\frac{1}{3}$，$b=-\frac{2}{3}$，$c=1$。
提示：注意方程组求解的准确性，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：写出特征多项式并计算
解得 $a=-2$，$b=0$，$c=2$，所以 $f(x)=x^3-2x^2+2$。则 $|3E-A|=f(3)=27-18+2=11$。
提示：代入 $x=3$ 时注意计算顺序。
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