东南大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵
由 $f(x_1,x_2,x_3) = (BX)^T(BX) = X^T B^T B X$，故二次型矩阵为 $A = B^T B$。计算得 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1+a^2 \end{pmatrix}$。
公式：A = B^T B
提示：注意矩阵乘法顺序，B^T B 是3×3矩阵。
步骤 2/7
目标：根据标准形确定特征值条件
已知 $f$ 可经可逆线性变换化为标准形 $y_1^2+y_2^2+0y_3^2$，即秩为2，正惯性指数为2，负惯性指数为0。故 $A$ 的特征值应为两个正数和一个零。
提示：标准形中系数为正的个数是正惯性指数，为负的个数是负惯性指数，零的个数是秩的缺失。
步骤 3/7
目标：计算特征多项式并求a
计算 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-1-a^2 \end{vmatrix}$。按第一行展开得 $(\lambda-1)[(\lambda-1)(\lambda-1-a^2)-1] + (-1)[0\cdot1 - (\lambda-1)(-1)] = (\lambda-1)[(\lambda-1)(\lambda-1-a^2)-2]$。令 $\mu = \lambda-1$，则特征多项式为 $\mu(\mu^2 - a^2\mu - 2)$。特征值为 $\lambda=1$（对应 $\mu=0$）和 $\lambda = 1 + \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4+8}}{2}$。要使一个特征值为0，则 $1 + \frac{a^2 - \sqrt{a^4+8}}{2} = 0$，解得 $a^2=1$，即 $a=\pm1$。此时特征值为0,1,3，符合要求。
公式：\det(\lambda I - A)=0
提示：注意行列式展开时符号，以及平方根方程求解时需检验。
步骤 4/7
目标：求特征值0的特征向量
取 $a=1$（$a=-1$ 类似），则 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$。解 $(A-0I)x=0$，即 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$，得 $x_1+x_3=0$，$x_2-x_3=0$，取 $x_3=1$，得 $\xi_1 = (-1,1,1)^T$，单位化得 $p_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^T$。
公式：(A-\lambda I)x=0
提示：解齐次线性方程组时，自由变量取值要简单。
步骤 5/7
目标：求特征值1的特征向量
解 $(A-I)x=0$，即 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$，得 $x_3=0$，$x_1-x_2=0$，取 $x_1=1$，得 $\xi_2 = (1,1,0)^T$，单位化得 $p_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$。
提示：注意矩阵减法，A-I 的元素计算。
步骤 6/7
目标：求特征值3的特征向量
解 $(A-3I)x=0$，即 $\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$，得 $-2x_1+x_3=0$，$-2x_2-x_3=0$，取 $x_3=2$，得 $x_1=1$，$x_2=-1$，即 $\xi_3 = (1,-1,2)^T$，单位化得 $p_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T$。
提示：注意特征向量之间应正交，可验证内积为0。
步骤 7/7
目标：构造正交矩阵Q
将单位化后的特征向量按列排成矩阵，得 $Q = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$。则正交变换 $X=QY$ 将二次型化为 $f = 0\cdot y_1^2 + 1\cdot y_2^2 + 3\cdot y_3^2$。
公式：Q^T A Q = \mathrm{diag}(0,1,3)
提示：正交矩阵的列向量需单位正交，且顺序与特征值对应。
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