东南大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分）设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 4 维列向量构成的向量空间．
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
a
\end{array}\right) .
$$
若 $V$ 的子空间 $\displaystyle V_{1}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in P\right\}, V_{2}=\left\{l_{1} \beta_{1}+l_{2} \beta_{2} \mid l_{1}, l_{2} \in\right.$
（1）参数 $a$ 满足什么条件时，$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和？
（2）若 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 不是直和，分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定子空间维数
首先求 $V_1$ 的维数。将 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 排成矩阵并化简：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_4+r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
秩为2，故 $\dim V_1 = 2$，且 $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $V_1$ 的一组基（因为 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$）。
再求 $\dim V_2$。$\beta_1, \beta_2$ 在任何 $a$ 下都不成比例（第一个分量 $\beta_1$ 为 -1，$\beta_2$ 为 0），故 $\dim V_2 = 2$。
提示：注意 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，因此 $V_1$ 的基只需两个向量。
步骤 2/4
目标：判断直和条件
$V_1+V_2$ 为直和当且仅当 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，即 $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 = 4$。将 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 排成矩阵并化简：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{r_4+r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a+1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_4-r_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \end{pmatrix}$$
秩为 $3$ 当 $a+1 \neq 0$，即 $a \neq -1$；秩为 $2$ 当 $a = -1$。
因此，当 $a \neq -1$ 时，$\dim(V_1+V_2)=3 = \dim V_1 + \dim V_2$，故 $V_1+V_2$ 为直和。当 $a = -1$ 时，$\dim(V_1+V_2)=2 < 4$，不是直和。
公式：直和条件：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$
提示：注意矩阵化简时行变换的顺序，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：求 $V_1+V_2$ 的一组基（$a=-1$）
当 $a = -1$ 时，矩阵 $B$ 化简为
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
秩为2，故 $\dim(V_1+V_2)=2$。取前两个非零行对应的原向量，即 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 线性无关，且 $\beta_1, \beta_2$ 可由它们线性表示。因此 $V_1+V_2 = V_1$，其一组基可取 $\alpha_1, \alpha_2$。
提示：注意化简后的矩阵中非零行对应的原向量不一定就是基，但这里前两个原向量恰好线性无关。
步骤 4/4
目标：求 $V_1 \cap V_2$ 的一组基（$a=-1$）
由维数公式：$\dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1+V_2) = 2+2-2=2$。由于 $\dim V_1 = 2$ 且 $V_1 \cap V_2 \subseteq V_1$，故 $V_1 \cap V_2 = V_1$。又因为 $V_1+V_2 = V_1$，所以 $V_2 \subseteq V_1$，从而 $V_1 \cap V_2 = V_1 = V_2$。因此 $V_1 \cap V_2$ 的一组基也为 $\alpha_1, \alpha_2$。
公式：维数公式：$\dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1+V_2)$
提示：注意当 $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1$ 时，$V_2 \subseteq V_1$，从而交等于 $V_1$。
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