中国人民大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．（20 分）设实数域上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=O$ ，记
$$
B=A A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{T}} A, C=A+A^{\mathrm{T}}
$$
令 $\displaystyle \operatorname{Ker}(B), \operatorname{Ker}(C), \operatorname{Im}(A)$ 和 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 为如下定义的实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的子空间：
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Ker}(B)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}, \operatorname{Ker}(C)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid C X=0\right\}, \\
& \operatorname{Im}(A)=\left\{A X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\left\{A^{\mathrm{T}} X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\} .
\end{aligned}
$$
证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$ ．
（2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right) \oplus \operatorname{Ker}(B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 Ker(C) ⊆ Ker(B)
设 $X \in \operatorname{Ker}(C)$，即 $(A+A^T)X=0$，则 $AX = -A^T X$。计算 $BX = (AA^T+A^TA)X = A(A^T X)+A^T(AX) = A(A^T X)+A^T(-A^T X) = AA^T X - (A^T)^2 X$。由于 $A^2=O$，有 $(A^T)^2 = (A^2)^T = O$，故 $BX = AA^T X$。由 $AX = -A^T X$ 左乘 $A$ 得 $A^2 X = -AA^T X$，即 $0 = -AA^T X$，所以 $AA^T X = 0$，从而 $BX=0$，即 $X \in \operatorname{Ker}(B)$。
公式：$A^2=O$，$(A^T)^2=O$
提示：注意 $A^T A^T = (A^2)^T$ 的运用。
步骤 2/6
目标：证明 Ker(B) ⊆ Ker(C)
设 $X \in \operatorname{Ker}(B)$，即 $BX=0$。则 $X^T B X = 0$。计算 $X^T B X = X^T(AA^T+A^TA)X = (X^T A)(A^T X)+(X^T A^T)(A X) = \|A^T X\|^2 + \|A X\|^2$。因此 $\|A X\|^2+\|A^T X\|^2=0$，故 $\|A X\|=0$ 且 $\|A^T X\|=0$，即 $AX=0$ 且 $A^T X=0$。于是 $CX=(A+A^T)X=0$，即 $X \in \operatorname{Ker}(C)$。
公式：$X^T B X = \|AX\|^2+\|A^T X\|^2$
提示：注意 $X^T B X$ 是半正定二次型，其值为零推出每个分量均为零。
步骤 3/6
目标：证明 Im(A) ∩ Im(A^T) = {0}
设 $y \in \operatorname{Im}(A) \cap \operatorname{Im}(A^T)$，则存在 $u,v$ 使得 $y=Au=A^T v$。计算 $\|y\|^2 = y^T y = (Au)^T (A^T v) = u^T A^T A^T v = u^T (A^2)^T v = 0$，故 $y=0$。
公式：$(A^T)^2 = (A^2)^T = O$
提示：注意内积的交换顺序，利用 $A^2=O$。
步骤 4/6
目标：证明 Im(A) ∩ Ker(B) = {0}
设 $y \in \operatorname{Im}(A) \cap \operatorname{Ker}(B)$，则存在 $x$ 使 $y=Ax$，且 $By=0$。由(1)知 $\operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$，故 $Cy=0$，即 $(A+A^T)Ax=0$，得 $A^2 x + A^T A x = 0$，所以 $A^T A x = 0$。于是 $\|Ax\|^2 = x^T A^T A x = 0$，故 $Ax=0$，即 $y=0$。
公式：$\|Ax\|^2 = x^T A^T A x$
提示：注意 $A^2=O$ 的运用。
步骤 5/6
目标：证明 Im(A^T) ∩ Ker(B) = {0}
设 $y \in \operatorname{Im}(A^T) \cap \operatorname{Ker}(B)$，则存在 $x$ 使 $y=A^T x$，且 $By=0$。由 $Cy=0$ 得 $(A+A^T)A^T x = 0$，即 $A A^T x + (A^T)^2 x = 0$，而 $(A^T)^2 = O$，故 $A A^T x = 0$。于是 $\|A^T x\|^2 = x^T A A^T x = 0$，故 $A^T x = 0$，即 $y=0$。
公式：$\|A^T x\|^2 = x^T A A^T x$
提示：与上一步对称，注意 $A^T$ 的幂零性。
步骤 6/6
目标：证明直和分解成立
首先，$\operatorname{Im}(A)$ 与 $\operatorname{Im}(A^T)$ 正交：对任意 $Au, A^T v$，有 $(Au)^T (A^T v) = u^T A^T A^T v = 0$。其次，$\operatorname{Ker}(B) = \operatorname{Ker}(A) \cap \operatorname{Ker}(A^T)$，因为 $BX=0$ 等价于 $AX=0$ 且 $A^T X=0$（由步骤2）。而 $\operatorname{Im}(A)^\perp = \operatorname{Ker}(A^T)$，$\operatorname{Im}(A^T)^\perp = \operatorname{Ker}(A)$，故 $\operatorname{Ker}(B) = \operatorname{Im}(A)^\perp \cap \operatorname{Im}(A^T)^\perp = (\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A^T))^\perp$。因此 $\mathbb{R}^n = \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A^T) \oplus \operatorname{Ker}(B)$。
公式：$\operatorname{Ker}(B) = \operatorname{Ker}(A) \cap \operatorname{Ker}(A^T)$
提示：注意直和需要子空间两两交为{0}，且和为全空间。
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