📝 中国人民大学 2026年高等代数真题
第1题
1．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n$ ，证明：$A$ 可写成 $\displaystyle n-r$ 个秩为 $\displaystyle n-1$ 的 $n$ 阶矩阵的乘积．
第2题
2．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵，$\displaystyle B^{\mathrm{T}}=C$ ．
（1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵．
（2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．
（1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵．
（2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．
第3题
3．（15 分）已知实数 $\displaystyle a_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ，计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
0 & a_{1}+a_{2} & \cdots & a_{1}+a_{n} \\
a_{2}+a_{1} & 0 & \cdots & a_{2}+a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n}+a_{1} & a_{n}+a_{2} & \cdots & 0
\end{array}\right| .
$$
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
0 & a_{1}+a_{2} & \cdots & a_{1}+a_{n} \\
a_{2}+a_{1} & 0 & \cdots & a_{2}+a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n}+a_{1} & a_{n}+a_{2} & \cdots & 0
\end{array}\right| .
$$
第4题
4．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,2,1,0), \alpha_{2}=(2,-2,4,-2,0), \alpha_{3}=(3,0,6,-1,1), \alpha_{4}=(0,3,0,0,1)$ ．
（1）（10 分）求该向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中其他向量用该极大线性无关组线性表示．
（2）（10 分）求一个以该极大线性无关组为基础解系的齐次线性方程组。
（1）（10 分）求该向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中其他向量用该极大线性无关组线性表示．
（2）（10 分）求一个以该极大线性无关组为基础解系的齐次线性方程组。
第5题
5．（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是复数域上所有次数小于 $\displaystyle n^{2}$ 的多项式以及零多项式构成的集合，对于通常的多项式加法和数乘，判断 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 能否构成实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间并简要证明你的结论。如果 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求出它的维数和一组基。
第6题
6．（15 分）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵是
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
4 & 4 & 4 & -1
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
4 & 4 & 4 & -1
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。
第7题
7．（15 分）设矩阵 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，证明：矩阵 $A$ 能唯一地分解为 $\displaystyle A=Q U$ ，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\displaystyle U=\left(u_{i j}\right)_{n \times n}$ 是上三角矩阵且对角元 $\displaystyle u_{i i}(1 \leq i \leq n)$ 均为大于 0 的实数．
第8题
8．（20 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是数域 $P$ 上的 $m$ 个不同的数，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $P$ 上的任意 $m$ 个数，对于任一多项式 $\displaystyle p(x)$ ，我们记 $\displaystyle \partial(p(x))$ 为其次数．证明：存在唯一的多项式 $\displaystyle g(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \partial(g(x))<m$ ，且对任意的 $\displaystyle 1 \leq i \leq m$ ，我们有 $\displaystyle g(x)=q_{i}(x)\left(x-a_{i}\right)+b_{i}$ ，其中 $\displaystyle q_{i}(x) \in P[x]$ ．
第9题
9．（20 分）设实数域上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=O$ ，记
$$
B=A A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{T}} A, C=A+A^{\mathrm{T}}
$$
令 $\displaystyle \operatorname{Ker}(B), \operatorname{Ker}(C), \operatorname{Im}(A)$ 和 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 为如下定义的实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的子空间：
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Ker}(B)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}, \operatorname{Ker}(C)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid C X=0\right\}, \\
& \operatorname{Im}(A)=\left\{A X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\left\{A^{\mathrm{T}} X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\} .
\end{aligned}
$$
证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$ ．
（2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right) \oplus \operatorname{Ker}(B)$ ．
$$
B=A A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{T}} A, C=A+A^{\mathrm{T}}
$$
令 $\displaystyle \operatorname{Ker}(B), \operatorname{Ker}(C), \operatorname{Im}(A)$ 和 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 为如下定义的实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的子空间：
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Ker}(B)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}, \operatorname{Ker}(C)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid C X=0\right\}, \\
& \operatorname{Im}(A)=\left\{A X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\left\{A^{\mathrm{T}} X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\} .
\end{aligned}
$$
证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$ ．
（2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right) \oplus \operatorname{Ker}(B)$ ．