中国人民大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）设矩阵 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，证明：矩阵 $A$ 能唯一地分解为 $\displaystyle A=Q U$ ，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\displaystyle U=\left(u_{i j}\right)_{n \times n}$ 是上三角矩阵且对角元 $\displaystyle u_{i i}(1 \leq i \leq n)$ 均为大于 0 的实数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定矩阵列向量并进行Gram-Schmidt正交化
设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_i$ 是列向量。由于 $A$ 可逆，$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关。对它们进行Gram-Schmidt正交化：
$\beta_1 = \alpha_1$，$u_{11} = \|\beta_1\| > 0$，$q_1 = \frac{\beta_1}{u_{11}}$；
对于 $k=2,\dots,n$：
$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} (\alpha_k \cdot q_i) q_i$，$u_{kk} = \|\beta_k\| > 0$，$q_k = \frac{\beta_k}{u_{kk}}$。
公式：Gram-Schmidt正交化公式：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle \alpha_k, q_i \rangle q_i$
提示：注意Gram-Schmidt过程中，$\beta_k$ 非零是因为向量组线性无关，从而 $u_{kk}>0$。
步骤 2/7
目标：构造正交矩阵Q
由正交化得到的 $q_1, \dots, q_n$ 是标准正交向量组，构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基。令 $Q = (q_1, q_2, \dots, q_n)$，则 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = I$。
提示：正交矩阵的列向量是标准正交的，且 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 3/7
目标：将原列向量表示为q_i的线性组合
由正交化过程，每个 $\alpha_k$ 可以表示为 $q_1, \dots, q_k$ 的线性组合：
$\alpha_k = \sum_{i=1}^{k} u_{ik} q_i$，
其中 $u_{ik} = \alpha_k \cdot q_i$（$i < k$），且 $u_{kk} = \|\beta_k\| > 0$。因此 $A = Q U$，其中 $U = (u_{ij})$ 是上三角矩阵且对角元 $u_{ii} > 0$。
公式：$\alpha_k = \sum_{i=1}^k u_{ik} q_i$
提示：注意 $u_{ik}$ 的定义：当 $i
步骤 4/7
目标：证明分解的存在性
由上述构造，我们得到了正交矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $U$（对角元为正），使得 $A = Q U$。因此存在性得证。
提示：Gram-Schmidt过程保证了 $U$ 的上三角性和对角元正性。
步骤 5/7
目标：假设两种分解并推导关系
假设有两种分解 $A = Q_1 U_1 = Q_2 U_2$，其中 $Q_1, Q_2$ 正交，$U_1, U_2$ 上三角且对角元为正。则 $Q_2^T Q_1 = U_2 U_1^{-1}$。左边是正交矩阵，右边是上三角矩阵（因为上三角矩阵的逆和乘积仍是上三角矩阵）。
公式：$Q_2^T Q_1 = U_2 U_1^{-1}$
提示：注意 $U_1$ 可逆（因为对角元非零），且上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。
步骤 6/7
目标：利用正交上三角矩阵的性质
设 $T = U_2 U_1^{-1}$，则 $T$ 既是正交矩阵又是上三角矩阵。正交上三角矩阵必为对角矩阵，且对角元为 $\pm 1$。因为 $T$ 的对角元为正（$U_1, U_2$ 对角元为正，$U_1^{-1}$ 对角元为正的倒数，乘积为正），所以 $T$ 的对角元全为 $1$，即 $T = I$。
提示：正交上三角矩阵是对角矩阵，且对角元为 $\pm 1$。这是关键性质。
步骤 7/7
目标：推出唯一性
由 $T = I$ 得 $U_2 U_1^{-1} = I$，即 $U_1 = U_2$。代入 $Q_2^T Q_1 = I$ 得 $Q_1 = Q_2$。因此分解唯一。
提示：唯一性依赖于对角元为正的条件，否则可能有符号差异。
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