中国人民大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵是
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
4 & 4 & 4 & -1
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征多项式
计算特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$。
$$\lambda I-A=\begin{pmatrix}\lambda-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda+1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & \lambda-1 & 0 \\ -4 & -4 & -4 & \lambda+1\end{pmatrix}.$$ 按第一行展开：
$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)\det\begin{pmatrix}\lambda+1 & 1 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 0 \\ -4 & -4 & \lambda+1\end{pmatrix}.$$ 再按第三列展开：
$$=(\lambda-1)(\lambda+1)\det\begin{pmatrix}\lambda+1 & 1 \\ -1 & \lambda-1\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda+1)[(\lambda+1)(\lambda-1)+1]=(\lambda-1)(\lambda+1)\lambda^2.$$ 所以特征值为 $\lambda_1=1$（单根），$\lambda_2=-1$（单根），$\lambda_3=0$（二重根）。
公式：$\det(\lambda I-A)=0$
提示：展开行列式时注意符号和代数余子式的计算，避免漏项。
步骤 2/6
目标：求特征值1的特征向量
解 $(A-I)\xi=0$。
$$A-I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & -2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$ 基础解系：$\xi_1=(1,-1,1,0)^T$。几何重数1，代数重数1，所以若尔当块为 $[1]$。
公式：$(A-\lambda I)\xi=0$
提示：行化简时注意矩阵的秩，确保得到正确的基础解系。
步骤 3/6
目标：求特征值-1的特征向量
解 $(A+I)\xi=0$。
$$A+I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & 0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$ 基础解系：$\xi_2=(0,0,0,1)^T$。几何重数1，代数重数1，所以若尔当块为 $[-1]$。
公式：$(A-\lambda I)\xi=0$
提示：注意矩阵化简的正确性，特征向量可能不是唯一的，但只需一个线性无关的解。
步骤 4/6
目标：求特征值0的特征向量
解 $A\xi=0$。
$$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & -1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$ 基础解系：$\xi_3=(0,-1,1,0)^T$。几何重数1，代数重数2，所以有一个2阶若尔当块。
公式：$A\xi=0$
提示：几何重数小于代数重数时，需要求广义特征向量。
步骤 5/6
目标：求特征值0的广义特征向量
解 $A\eta=\xi_3$。增广矩阵：
$$\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & -1 & 0\end{array}\right)\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$ 得 $\eta=(0,1,0,4)^T + k(0,-1,1,0)^T$，取 $k=0$ 得 $\eta=(0,1,0,4)^T$。
公式：$(A-\lambda I)\eta=\xi$
提示：广义特征向量不唯一，但需与特征向量线性无关，通常取最简单的特解。
步骤 6/6
目标：构造新基并得到若尔当形
取基：
$$\beta_1=\xi_1=(1,-1,1,0)^T, \quad \beta_2=\xi_2=(0,0,0,1)^T, \quad \beta_3=\xi_3=(0,-1,1,0)^T, \quad \beta_4=\eta=(0,1,0,4)^T.$$ 则 $\sigma$ 在此基下的矩阵为若尔当形：
$$J=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$
公式：若尔当形矩阵
提示：基的排列顺序对应若尔当块的顺序，注意广义特征向量放在对应特征向量之后。
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