中国人民大学 2026年高等代数第5题

设 $\mathbb{C}[x]_{n^2}$ 是复数域上所有次数小于 $n^2$ 的多项式以及零多项式构成的集合。对于通常的多项式加法和数乘，我们需要验证它是否满足实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间定义。线性空间要求对任意 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 和任意 $f(x), g(x) \in \mathbb{C}[x]_{n^2}$，有 $\alpha f(x) + \beta g(x) \in \mathbb{C}[x]_{n^2}$。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的次数都小于 $n^2$，它们的线性组合的次数不超过 $\max(\deg f, \deg g) < n^2$，因此仍属于 $\mathbb{C}[x]_{n^2}$。此外，加法交换律、结合律、零元、负元、数乘分配律等均满足，因为多项式运算满足这些性质。因此，$\mathbb{C}[x]_{n^2}$ 构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。

作为复数域上的线性空间，$\mathbb{C}[x]_{n^2}$ 的维数为 $n^2$，基为 $\{1, x, x^2, \dots, x^{n^2-1}\}$。但作为实数域上的线性空间，我们需要考虑复数系数。每个复数系数 $c_k$ 可以表示为 $a_k + i b_k$，其中 $a_k, b_k \in \mathbb{R}$。因此，每个多项式 $f(x) = \sum_{k=0}^{n^2-1} c_k x^k$ 可以写成 $f(x) = \sum_{k=0}^{n^2-1} a_k x^k + i \sum_{k=0}^{n^2-1} b_k x^k$。这表明 $\mathbb{C}[x]_{n^2}$ 作为实数域上的线性空间，其维数应为 $2n^2$。

考虑集合 $\mathcal{B} = \{1, x, x^2, \dots, x^{n^2-1}, i, i x, i x^2, \dots, i x^{n^2-1}\}$，共 $2n^2$ 个元素。我们需要证明 $\mathcal{B}$ 是 $\mathbb{C}[x]_{n^2}$ 作为实数域上线性空间的一组基。首先证明线性无关：设存在实数 $\alpha_k, \beta_k$ 使得 $\sum_{k=0}^{n^2-1} \alpha_k x^k + \sum_{k=0}^{n^2-1} \beta_k (i x^k) = 0$（零多项式）。整理得 $\sum_{k=0}^{n^2-1} (\alpha_k + i \beta_k) x^k = 0$。由于 $\{1, x, \dots, x^{n^2-1}\}$ 在复数域上线性无关，故 $\alpha_k + i \beta_k = 0$ 对所有 $k$ 成立，从而 $\alpha_k = \beta_k = 0$。因此 $\mathcal{B}$ 线性无关。

任意 $f(x) \in \mathbb{C}[x]_{n^2}$ 可写为 $f(x) = \sum_{k=0}^{n^2-1} c_k x^k$，其中 $c_k = a_k + i b_k \in \mathbb{C}$，$a_k, b_k \in \mathbb{R}$。则 $f(x) = \sum_{k=0}^{n^2-1} a_k x^k + \sum_{k=0}^{n^2-1} b_k (i x^k)$，即 $f(x)$ 可由 $\mathcal{B}$ 中元素线性表示（系数为实数）。因此 $\mathcal{B}$ 生成整个空间。

由以上两步，$\mathcal{B}$ 是 $\mathbb{C}[x]_{n^2}$ 作为实数域上线性空间的一组基，且基中元素个数为 $2n^2$，故维数为 $2n^2$。